《工程数学（概率论与数理统计）》课程教学资源（PPT课件）第9章 随机变量的数字特征

第4章随机变量的数字特征04随机变量的数字特征《概率论与数理统计》

第4章 随机变量的数字特征 1 随机变量的数字特征 《概率论与数理统计》 04

目录/Contents?兰山4.1数学期望4.2方差和标准差4.3协方差和相关系数4.4其他数字特征

第4章 随机变量的数字特征 2 目录/Contents 4.1 4.2 4.3 4.4 数学期望 方差和标准差 协方差和相关系数 其他数字特征

目录/Contents?兰4.1数学期望一、数学期望的定义二、 随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质

第4章 随机变量的数字特征 3 目录/Contents 4.1 数学期望 一、数学期望的定义 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征4例1设甲、乙两班各40名学生，概率统计成绩及得分人数如表所际，成绩以10的倍数表示甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？甲班乙班901007080607080406090100分数分数13人数291802人数388712887291893113频率频率4040404040404040404040解：班级平均成绩=总分总人数929182+70×甲班平均成绩=60×+90 ×80分）+80+100xX4040404040同理，乙班平均成绩-80（分）Zx,pi=E(X)

第4章 随机变量的数字特征 4 例1 设甲、乙两班各40名学生, 概率统计成绩及得分人数如表所 甲班 分数 60 70 80 90 100 乙班 分数 40 60 70 80 90 100 人数 2 9 18 9 2 人数 3 1 8 13 8 7 频率 频率 2 40 9 40 18 40 9 40 2 40 3 40 1 40 8 40 13 40 8 40 7 40 示, 成绩以10的倍数表示. i i i  x p = ˆ E X( ) 甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？ 解：班级平均成绩=总分÷总人数 甲班平均成绩 2 9 18 9 2 60 70 80 +90 +100 =80( 40 40 40 40 40 =      ＋ ＋ 分) 同理，乙班平均成绩=80(分) 一、数学期望的定义

、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征5定义1设X是离散型随机变量，其分布律头P(X= x)= pii = 1,2,...当级数Zx,PZx,P,为随机变量X的数学期望绝对收敛时，称（或期望、均值），记作E(X)

第4章 随机变量的数字特征 5 定义1 设 X 是离散型随机变量，其分布律为 ( ) , 1,2, P X x p i = = = i i 一、数学期望的定义 当级数 i i 绝对收敛 时, 称 为随机变量 的数学期望 i x p i i i x p X （或期望、均值）, 记作 E X( )

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征6注：ZxP为保证无穷级数Zx,P,的值不因改变求和次序而变，要求级数绝对收敛，E(X)才有定义。当X服从某个分布时,也称EX）是这个分布的期望。期望刻画随机变量取值的平均，有直观含义3物理含义：单位质量的细棒重心坐标Ex,m

第4章 随机变量的数字特征 6 绝对收敛， E X( ) 才有定义。 物理含义 : 单位质量的细棒, 重心坐标 量取值的平均，有直观含义。 当 X 服从某个分布时,也称 E X( ) 是 注： i i i 为保证无穷级数 的值不因改变求和次序而变，要求级数 x p i i i 1 x p 2 3 这个分布的期望 。期望刻画随机变 1 2 i n x x x x mi * i i i  x m 一、数学期望的定义

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征复习：(-1)若[a收敛，则称α,绝对收敛;n?i=li=1n=l802-≥4,收敛，但≥a|不收敛，则称a,条件收敛；若ni=1i=li=1n=l0080若α, 绝对收敛，则α一定收敛;i=li=18000Z4若ai绝对收敛，则级数>a,求和唯一i=li=l

第4章 随机变量的数字特征 7 复习： 1 2 3 2 1 ( 1)n n n  = − 若 i 1 ai 收敛, 则称 绝对收敛;   =  1 i i a  =  若 绝对收敛，则级数 求和唯一. 1 i i a  =  1 i i a  =  若 绝对收敛，则 一定收敛; 1 i i a  =  1 i i a  =  1 ( 1)n n n  = − 若 收敛, 但 不收敛, 则称 条件收敛;  1 i i a  =  1 i i a  =  1 i i a  =  3 4 一、数学期望的定义

一、 数学期望的定义第4章随机变量的数字特征9例2设随机变量X的分布律分别为（1）1(2) P X =(i=1,2,. (3) PX=(-112在三种情形下，试问X的数学期望E（）是否存在吗？为什么？X(1)因为发散，所以X的数学期望不存在。解i=1

第4章 随机变量的数字特征 8 （1）因为 发散， 1 1 1 2 1 1 2 i i i i i i i x p i i    = = =    =  = 所以 X 的数学期望不存在。 例2 解 ( ) 2 1 1 , 1,2, 2 i i i P X i i     = − = =   （2） ( ) 2 2 1 1 , 1,2, 2 i i i P X i i     = − = =   （3） 设随机变量 X 的分布律分别为 2 1 , 1,2, 2 i i P X i i   = = =     （1） 在三种情形下，试问 X 的数学期望 E X( ) 是否存在吗？为什么？ 一、数学期望的定义

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征O(2)因为--1发散，所以X的数学期望不存在(3)因为收敛，所以X的数学期望存在

第4章 随机变量的数字特征 9 （2）因为 ( ) 发散， 1 1 1 2 1 1 1 2 i i i i i i i i x p i i    = = =    = −  = 所以 X 的数学期望不存在。 （3）因为 2 2 收敛， 1 1 1 2 1 1 2 i i i i i i i x p i i    = = =    =  = 所以 X 的数学期望存在。 一、数学期望的定义

一、数学期望的定义10第4章随机变量的数字特征例3设离散型随机变量X的分布律如下，计算E（XP0.20.8E(X)=Zx,P, =-2×0.2 +1×0.8 =0.4解

第4章 随机变量的数字特征 10 -2 1 P r 0.2 0.8 X ( ) 2 0.2 1 0.8 0.4 i i i 解 E X x p = = −  +  =  例3 设离散型随机变量 X 的分布律如下, 计算 E X( ) 一、数学期望的定义