第四节极限存在准则和两个重要极限如果谁不知道正方形的对角线和边是不可通约的量，那他就不值得人的称号柏拉图
第四节 极限存在准则 和两个重要极限 如果谁不知道正方形的对角线和边是 不可通约的量，那他就不值得人的称号。 ——柏拉图
极限存在准则定理4.1（夹逼准则）若(1) y,≤x,≤zn(2) lim y, = limz, = a,则 limx, = A.定理4.2（夹逼准则）若 (1) g(x)≤f(x)≤h(x),(2) lim g(x) = limh(x) = A,则 lim f(x)= A
极限存在准则 (1) , (2) lim lim , lim . n n n n n n y x z y z a x A = = = 定理4.1(夹逼准 则 则) 若 (1) ( ) ( ) ( ), (2) lim ( ) lim ( ) , lim ( ) . g x f x h x g x h x A f x A = = = 定理4.2(夹逼准则 若 ) 则
例1. 求 lim nn-→0十Y解nn+nn+n-Ynnlimlimn-8n-0+nn+nlimnn>00n+i
2 2 2 1 1 1 . lim . 1 2 1 n n → n n n n + + + + + + 例 求 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 , 1 n n n n n n n n n n + + + + + + + + 解 2 2 2 2 lim lim 1, n n 1 n n → → n n n = = + + 2 2 2 1 1 1 lim =1. n 1 2 n → n n n n + + + + + +
例2求极限lim cos x.x→0X()-,解 ： 0≤1-cosx=2sin2≤212lim=0,2x-→0lim(1- cosx)= 0,x-→0limcos x = 1.x-→0
例2 求极限 0 limcos . x x → 解 ∵ 2 2 2 0 1 cos 2sin 2 , 2 2 2 x x x x − = = 2 0 lim 0, x 2 x → = 0 limcos 1. x x → = ( ) 0 lim 1 cos 0, x x → − =
两个重要极限sinx1.limx-0x解如图，R由BD<BA得sinx<x,由SS扇OAB < SAOAc 得x< tanx,sinx0AD<1,cosx<x又limcos x=-1.x-→0sinxlim 1.x-→0x
两个重要极限 0 s 1. in lim 1 x x → x = A C x o B D 0 sin lim 1. x x → x = sin cos 1, x x x 解 如图, tan , 由 S S x x 扇OAB OAC 得 0 limcos =1, x x → 又 由 BD BA x x 得 sin
tanx求例3limx-→0xsinxtanx解limlimx-→0x-→0xxcosxsinxlim= limx-→0x-→0xcosx=1
例3 求 0 tan lim . x x → x = 1. 解 0 tan lim x x → x 0 sin 1 lim x cos x → x x = 0 0 sin 1 lim lim x x cos x → → x x =
1-cosx求例4limx-→0x22sin2cosx解limlim福x-→0x-0()m福-0-i~-in
例4 求 2 0 1 cos lim . x x → x − 2 2 2 0 0 2sin 1 cos 2 lim lim x x x x → → x x − 解 = 2 2 0 1 sin lim 2 x t t t t = → = 1 2 1 2 = 1 . 2 =
arctanx求例5limx-→>0xarctanx t=arctanx解limlim三x-→0t-→0tantx1limtantt-→0T:1
例5 求 0 arctan lim . x x → x arctan 0 0 arctan lim lim tan t x x t x t x t = → → 解 = 0 1 lim t tant t → = 1 1 1. = =
sin u(x) = 1.一般结果limu(x)-→>0u(x)
( ) 0 sin ( ) lim 1 ( ) . u x u x → u x 一般结果 =
极限存在准则单调增加数列x, ≤x,≤...≤x,≤...单调增加函数x<y, 都有 f(x)≤ f(y)定理4.3（单调有界收敛准则）单调有界数列（函数）必有极限
极限存在准则 单调 . 定理4 有界数 .3(单调有 列（函数）必 界收敛准则 有极限 ) 1 2 n 单调增加数列 x x x 单调增加函数 x y f x f y , ( ) ( ) 都有