第二节数列的极限美丽有两种一是深刻而又动人的方程一是你泛着倦意淡淡的笑容给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们给那些了解数学家和不了解数学家的人们向那些文明的推动者表示深深的敬意
第二节 数列的极限 给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们 给那些了解数学家和不了解数学家的人们 向那些文明的推动者表示深深的敬意
四、数列极限的性质则它定理2.1(唯一性）如果数列x，存在极限，的极限是唯一的如果数列{x，存在极限，则它定理2.2（有界性）一定有界
四、数列极限的性质 2.1 . ( ) { } , n 如果数列 x 存在极限 则它 的极限是 定 唯一性 唯一的 理 2.2 ( { } , . ) n 如果数列 x 存在极限 则它 一 定 有界性 定有界 理
四、数列极限的性质定理2.3设有两个数列(x,,y,},limx, = a, limy, = b, aN 时.X,0,则存在正整数 N，当 n>N时x,>0
{ }, { }, lim , lim , , , , .3 . 2 n n n n n n n n x y x a y b a b N n N x y → → = = 设有两个数列 则存在正整数 当 时 定理 四、数列极限的性质 { } , 0, , , > ( ) 0. n n x a a N n N x 设数列 收敛于 且 则存在正整数 当 时 推论 保号性
四、数列极限的性质定理2.4设有两个数列{x,,{y,},limx, = a, lim y, = b,-O且存在正整数 N,当 n>N 时，x,≥ yn,则a ≥ b.推论设数列(x,收敛于 a，且存在正整数 N,当n>N时,x,≥0,则a≥0
{ }, { }, lim , lim , 2.4 , , , . n n n n n n n n x y x a y b N n N x y a b → → = = 定理 设有两个数列 且存在正整数 当 时 则 四、数列极限的性质 { } , , , 0, 0. n n x a N n N x a 设数列 收敛于 且存在正整数 当 时 则 推论
四、数列极限的性质定理2.5设有两个数列(x,},(y,),limx, = a, lim y, = b,则如下运算法则成立：(1) lim(x, ± y,) = limx, ± lim y, = a± b.8(2) lim(x, yn) = lim x, lim y, = ab.n0n0n0limx,n->80(b ± 0)(3) limlim ynn-→00yrnoc
{ }, { }, lim , lim , (1) lim( ) lim lim . (2) lim( ) lim lim . lim (3) lim ( 0). li 2.5 m n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x y x a y b x y x y a b x y x y ab x x a b y y b → → → → → → → → → → → = = = = = = = = 设有两个数列 则如下运算法则成立： 定理 四、数列极限的性质
几个简单极限limc = c.n-80lim= 0 (α> 0)han0lima" =0 (ak1)n0
几个简单极限 1 lim 0 ( 0). n n → = lim . n c c → = lim 0 (| | 1). n n a a → =
[六例1. 求 limn(n + 1)n-0解lim1.22n(n+ 1)81-[6(-]lim￥8-- lim 1--.n00n+1= lim 1 - limn-→ n+ 1n-=1-0= 1
1 1 1 . lim . 1 2 2 3 ( 1 1) n→ n n + + + + 例 求 1 1 1 lim 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + + 解 1 1 1 1 1 lim 1 n→ 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 lim 1 n→ n 1 = − + 1 lim1 lim n n → → n 1 = − + = 1. = −1 0