S6.3分式线性映射第六童$6.3分式线性映射一、分式线性映射的一般形式共形映射二、分式线性映射的分解三、保形性XiSong四、保圆性五、保对称点性六、唯一决定分式线性映射的条件七、两个典型区域间的映射
1 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 §6.3 分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式 二、分式线性映射的分解 三、保形性 四、保圆性 五、保对称点性 六、唯一决定分式线性映射的条件 七、两个典型区域间的映射
S6.3分式线性映射H一、分式线性映射的一般形式第六章定义由分式线性函数Songaz+bha共形映射a,b,c,d为复数且W=cz+ddC构成的映射，称为分式线性映射特别地，若c=0，则称为(整式)线性映射注（1）两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；（2）分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：dw-b7=cw-a王2
2 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式 定义 ( 为复数且 ) cz d az b w + + = d b c a 由分式线性函数 a , b, c , d 构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 c = 0, 则称为(整式)线性映射。 (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射： 注 (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；
S6.3分式线性映射HT二、分式线性映射的分解第六章az+b分析可改写为：分式线性函数W=cz+d2共形映射(1)当c0时,1acz+bc1a(cz+d)-ad +bcW=cz+dcz+dcCXe1bc-adRcz+dcXuSong(2)当c = 0时,az+bW=d3
3 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 分析 分式线性函数 可改写为： cz d az b w + + = cz d acz bc c w + + = 1 (1) 当 c 0 时， (2) 当 c = 0 时， ; 1 c cz d bc ad c a + − = + cz d a cz d ad bc c + + − + = 1 ( ) ( ). a b z d a = + d az b w + =
86.3分式线性映射HT二、分式线性映射的分解第六章分析因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种最简单的分式线性映射复合而成。共形映射(1)w=z+b，（b为复数）;w=eioz,（,为实数);0复合成(整式)线性映射。(2)(3)(r为正数）；w=rz.复合成分式线性映射。(4)W=Soag●在后面的讨论中，有时会根据需要，只对（整式）线性映射和第（4）种映射分别进行讨论
4 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 分析 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。 (1) w = z + b, (b为复数)； , 0 w e z i (2) = ( 0 为实数)； (3) w = rz, (r为正数)； 复合成(整式)线性映射。 在后面的讨论中，有时会根据需要，只对(整式)线性映射 和第(4)种映射分别进行讨论。 复合成分式线性映射。 (4) w = . z 1
S6.3分式线性映射H二、分式线性映射的分解第六童。下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化将w平面与z平面放在同一个平面上。共形映射y1.平移映射w=z+b，（b为复数）W令w=u+iv,z=x+iyb = b, +ib2,则有u=x+bi,=y+b2b它将点集（点、曲线、区域等）沿着向量b的方向平移一段距离1bl.x5
5 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 1. 平移映射 w = z + b, ( b为复数) w = u + iv , , 1 2 b = b + ib 令 z = x + i y , , 1 u = x + b . 2 则有 v = y + b 向量 b 的方向平移一段距离 . |b | 它将点集(点、曲线、区域等)沿着 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化， 将w平面与z平面放在同一个平面上
86.3分式线性映射HT二、分式线性映射的分解第六章2.旋转映射Vw=eiz，（,为实数)共形映射令 z=zlei,CWi(0+00)则有 w=|z[eZC它将点集（点、曲线、区域等旋转一个角度当.>0时，沿逆时针旋转；当%<0时，沿顺时针旋转6
6 第六章共形映射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 2. 旋转映射 旋转一个角度 . 0 它将点集 ( 点 、曲线 、区域等) , 0 w e z i = ( 0 为实数) 令 | |e , i z = z 则有 | | . ( ) 0 e + = i w z 当 0 0 时，沿逆时针旋转； 当 0 0 时，沿顺时针旋转
S6.3分式线性映射HU二、分式线性映射的分解第六章3.相似映射LXiSonglw=rz，（r为正数)共形映射W令 z=|zlei?， 则有 w=rlzleigZ其特点是保持点的辐角不变，1但模扩大（或缩小）r倍。它将曲线或者区域相似地扩大（或缩小）r倍。特别适合于过原点（或含原点）的曲线或区域7
7 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 3. 相似映射 其特点是保持点的辐角不变， w = rz, (r为正数) 令 | |e , i z = z 则有 | |e . i w = r z 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域
86.3分式线性映射HU二、分式线性映射的分解第六章14.反演（或倒数)映射W=Z.W,共形映射pi(-0)令z=zlei，则有W0ZAxw它将单位圆内（或外）的点映射到单位圆外（或内），且辐角反号如图，反演（或倒数）映射通常还可以分为两步来完成：(1)将z映射为wi,满足 wi/=argw,=argz;[z] (2)将 w,映射为w,满足 Iwl=[wil, arg w=-argwi.8
8 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 单位圆外(或内)，且辐角反号。 二、分式线性映射的分解 4. 反演(或倒数)映射 它将单位圆内(或外)的点映射到 令 | |e , i z = z w = z 1 则有 . ( ) e i − w = |z| 1 − 如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成： (1) 将 z 映射为 , w1 满足 | | , w1 = |z| 1 arg arg ; 1 w = z (2) 将 w1 映射为 w , 满足 | | | |, w = w1 arg arg . w = − w1
86.3分式线性映射H二、分式线性映射的分解第六童5.两个特殊的对称映射XaSongh圆周对称的概念共形映射定义设某圆周C的半径为R，1P145A.B两点位于从圆心OR定义6.30出发的射线上(如图)，且BAOA·OB=R2，则称A和B是关于圆周C对称的。自然地，规定圆心0与无穷远点关于该圆周对称89
9 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 圆周对称的概念 定义 设某圆周C 的半径为R， 则称 A 和 A, B 两点位于从圆心O 5. 两个特殊的对称映射 自然地，规定圆心O与无穷远点 关于该圆周对称。 C A B R O B是关于圆周C 对称的。 出发的射线上(如图)，且 , 2 OAOB = R T P145 定义 6.3
86.3分式线性映射二、分式线性映射的分解第六章5.两个特殊的对称映射W(1)关于单位圆周的对称映射共形映射1io令 z=lzlei，则有PWZ即 /w|=argw=argz;ZW=z(2）关于实轴的对称映射令 z=zlei,则有w=lzlei(-0)即 [w|=lzl, argw=-argz.Z10
10 第六章共形映射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射 w = z1 令 | |e , i z = z 则有 e . i w = | z | 1 |w| = , | z | 1 即 arg w = arg z; (2) 关于实轴的对称映射 w = z 令 | |e , i z = z 则有 | | . ( ) e − = i w z 即 |w| = |z|, argw = −arg z. z w zz