第五章留数及其应用?(Residue and application)85.1孤立奇点11S5.2留数招S 5.3留数在定积分中的应用--S5.4对数留数与辐角原理稻11福
第五章 留数及其应用 (Residue and application) §5.1孤立奇点 §5.2留数 §5.3留数在定积分中的应用 §5.4对数留数与辐角原理
第一讲85.1孤立奇点(lsolatedsingularpoint)孤立奇点的分类福各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系四解析函数在无穷远点的性质1
第一讲 §5.1 孤立奇点 (Isolated singular point) 一、孤立奇点的分类 二、各类奇点的特征 三、函数的零点与极点的关系 四、解析函数在无穷远点的性质
1孤立奇点的分类定义5.1如果函数f(虽在不解析但在1.0的某一个去心邻域0<z-z内处处解析，则称为。的孤文点1z=0是函数f(z)=二的孤立奇点。例1 Z1例2=i,=-1是函数f()(z-i)(z+1)111的两个孤立奇点。1
一、孤立奇点的分类 定义5.1 如果函数 虽在 不解析,但在 的某一个去心邻域 内处处解析, 则 称为 的孤立奇点 f (z) . f (z) − 0 0 z z 0 z 0 z 0 z ( ) ( ) ( )( ) 的两个孤立奇点。 例 是函数 例 是函数 的孤立奇点。 1 1 2 , 1 1 1 0 1 2 − + = = − = = = z i z z i z f z z z f z
11111例3 设f():-7n元1sin111711拉是它的孤立奇点1但z=是奇点而不是孤立奇点。换句话说,在的奇识点存在不论怎样小的去心领域内总有11I11111-111V11111
( ) ( ) 是它的孤立奇点 例 设 1,2, 1 , 1 sin 1 3 = = n = n z z f z n 但 是奇点而不是孤立奇点。换句话说,在 不论怎样小的去心领域内总有 的奇点存在 f (z) . z = 0 z = 0
I将函数f(在它的孤立奇点的去心邻域0<-z内展开成洛朗级数I+00f(z)= Zc,(z-zo)n=-00根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下111111景
( ) ( ) n n n f z C z z + =− = − 0 将函数 在它的孤立奇点 的去心邻域 内展开成洛朗级数. f (z) 0 z − 0 0 z z 根据展开式中所含负幂项的不同情况 对孤立奇点分类如下：
吉祥（1）可去奇点如果在洛朗级数中不含z-的负幂项,则孤立奇点z.称为f(z)的可去奇点.有f(z)= co + ci(z-zo) +...+ c,(z-zo)n +... 0<z-zol<s显然 lim f(z)=Co,补充定义 f(zo)= Co7201-则在z-zo<s内就有1f(2)=Co+c(z-zo)+...+cn(z-zo)n +..从而函数f(z)在z就成为解析的了.所以z.称为可去雪奇点.11
（1）可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂 项,则孤立奇点z0称为f (z)的可去奇点.有 f (z)= c0 + c1 (z−z0 ) +.+ cn (z−z0 ) n +. 0<|z−z0 |< , ( ) 0 0 0 0 lim ( ) , z z f z c f z c → 显然 = = 补充定义 ， 则在|z-z0 |<δ内就有 f (z)=c0+c1 (z-z0 )+.+cn (z-z0 ) n +., 从而函数f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去 奇点
sinI z=0是例如的可去奇点。因为函数在z= 0Z的去心邻域内的洛朗级数1sin z43!5!3!5!sin z在 z =0的值为l中不含负幂项如果定义zsinz则在z=0点便为解析的了2
3 5 2 4 sin 0 0 sin 1 1 1 1 1 ( ) 1 3! 5! 3! 5! sin . 0 1, sin 0 . z z z z z z z z z z z z z z z z z z = = = − + − = − + − = = 例如 是 的可去奇点。因为函数在 的去心邻域内的洛朗级数 中不含负幂项如果定义 在 的值为 则 在 点便为解析的了
（2）极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z的负幂项，即福1f (z)=c-m(z-zo)-m+...+c-2(z-zo)-2+C.i(z-zo)-1+co+ci(z-zo)+...: (m≥1, C-m+0),则孤立奇点z.称为函数f(z)的m阶极点（3）本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z的负幂项,则孤立奇点zo称为f (z)的本性奇点1福崇
（3）本性奇点 如果在洛朗级数中含 有无穷多z-z0 的负幂项,则孤立奇点z0 称为f (z)的本性奇点. （2）极点如果在洛朗级数中只有有 限多个z-z0的负幂项, 即 f (z)=c-m(z-z0 ) -m+.+c-2 (z-z0 ) -2+ c-1 (z-z0 ) -1+c0+c1 (z-z0 )+. (m1, c-m0), 则孤立奇点z0称为函数f (z)的m阶极点
1111111/111111/11/1111I11例如f(z)==e=以z=0为它的本性奇点.因为1I112n有无穷多负幂项。.ez=1+Z十Z2+2!n!1111111111111111111/1I11/11/1111刺111111111111111福111111酒111111111111111111111111111111I111111
1 1 1 2 ( ) 0 . 1 1 1 2! ! z z n f z e z e z z z n − − − = = = + + + + + 例如 以 为它的本性奇点 因为 有无穷多负幂项
二、各类奇点的特征定理5.1函数(z)在0zzR(<R≤+)内解析，那么z是(z)的可去奇点的必要与充分条件是存在着极限：limf(z)=coZ→Z011其中c是一个复数1证明：（必要性）由假设，在0zzR内，(z)有洛朗级数展式：f(z) = Co +ci(z - zo)+...+ Cn(7
二、各类奇点的特征 定理5.1函数f(z)在 0 | z − z | R(0 R + ) 0 内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与 充分条件是存在着极限： 0 z 0 lim ( ) 0 f z c z z = → 其中 c0 是一个复数。 证明：（必要性）由假设，在 内，f(z)有洛朗级数展式： 0 | z − z0 | R ( ) ( ) . ( ) . = 0 + 1 − 0 + + − 0 + n n f z c c z z c z z