《工程数学（概率论与数理统计）》课程教学资源（PPT课件）第10章 随机事件与概率

第5章大数定律及中心极限定理05随机事件与概率《概率论与数理统计》

第5章 大数定律及中心极限定理 1 随机事件与概率 《概率论与数理统计》 05

目录/Contents?兰5.1大数定律5.2中心极限定理

第5章 大数定律及中心极限定理 2 目录/Contents 5.1 5.2 大数定律 中心极限定理

目录/Contents?兰山5.1大数定律一、切比雪夫（Chebyshev）不等式二、依概率收敛三、大数定律

第5章 大数定律及中心极限定理 3 目录/Contents 5.1 大数定律 一、切比雪夫（Chebyshev）不等式 二、依概率收敛 三、大数定律

，切比雪夫不等式第5章大数定律及中心极限定理例1设X~N(u,), 计算P(X-μ≥3α)X-μ~N(O,1),所以解：因为二oP(IX -μ≥ 3α)==2-2Φ(3)=0.003

第5章 大数定律及中心极限定理 4 例1 解：因为 ，所以 2 设X N ~ ( , )   ， 计算P X( 3 ) −    。 (0,1) X N   − ( 3 3 ) X P X P       − −  =      3 2 2 (3) 0.003 X P     −  = −  =     一、切比雪夫不等式

、切比雪夫不等式5第5章大数定律及中心极限定理定理1（切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望E（X）及方差D（X）存在，则对于任意的>0，有D(X)P(X-E(X)≥)证明：仅给出X为连续型随机变量的证明-E(XP(IX-E(X)≥s)= [ f(x)dx≤f(x)dx62-E(x)26x-E(x)≥6-E(X)D(X)(x)dx6a

第5章 大数定律及中心极限定理 5 定理1（切比雪夫不等式） ( ( ) ) ( ) 2   −   D X P X E X 设随机变量X E X D X 的数学期望 ( )及方差 ( )存在，则对于任意的  0，有 证明：仅给出X 为连续型随机变量的证明。 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 = ( ) ( ) ( ) x E x x E x X E X P X E X f x dx f x dx X E X D X f x dx       −  −  + − − −   −  =    一、切比雪夫不等式

一、切比雪夫不等式第5章大数定律及中心极限定理6例2设X～N(,α），用切比雪夫不等式估计概率P(X-μ≥3）。解因为8=3α，由切比雪夫不等式得P(X-E(X)≥e) ≤D(M)8D(X)P(X-μ≥3)<29(30)

第5章 大数定律及中心极限定理 6 例2 2 设X N~ ( , )   ，用切比雪夫不等式估计概率P X( 3 ) −    。 因为   =3 ，由切比雪夫不等式得 ( ) ( ) 2 ( ) 1 3 = 3 9 D X P X    −   P X E X ( −  ( )  ) ( ) 2   D X 一、切比雪夫不等式 解

一、切比雪夫不等式第5章大数定律及中心极限定理例3设随机变量X的方差D（X）=0，求证，X服从参数为C的退化分布。证明利用切比雪夫不等式得，对任意的>0，有D(X)0≤ P(IX-E(X)≥)2由的任意性知P(X=E(X)=1

第5章 大数定律及中心极限定理 7 例3 证明 利用切比雪夫不等式得，对任意的   0 ，有 ( ( ) ) 2 ( ) 0 =0 D X P X E X    −   P X E X ( = =1 ( )) 一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 的方差 D X( ) = 0 ，求证， X 服从参数为 c 的退化分布。 由  的任意性知

>>>二、依概率收敛8第5章大数定律及中心极限定理定义1设X1，X2，是随机变量序列，如果存在一个常数℃，使得对任意一个ε>0lim P(IX, -c|那么称XX…依概率收敛于c,记作X，P>c当n充分大时/X,E（c6,C+)几乎总是发生lim P(X, -c| ≥)= 0.或等价地

第5章 大数定律及中心极限定理 8 个常数 c , 使得对任意一个   0 , lim 1, ( n ) n P X c  → −  = 或等价地 lim 0. ( n ) n P X c  → −  = P 那么称 X X 1 2 , , 依概率收敛于 c , 记作 X c n ⎯⎯→ 定义1 设 X X 1 2 , , 是随机变量序列, 如果存在一 当 n 充分大时 X c c n  − + (   , ) 几乎总是发生 二、依概率收敛 总有

二、依概率收敛9第5章大数定律及中心极限定理依概率收敛性具有下列性质：定理2>c ,Y,P>b,且函数g(x,y)在如果X，(a,b)处连续g(X,,Y,)→g(a,b)例如X,P>1,Y,P>2,则 X,+Y,P>3

第5章 大数定律及中心极限定理 9 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b → 依概率收敛性具有下列性质： (a b, ) 处连续 如果 ， ，且函数 在 P X c n ⎯⎯→ P Y b n ⎯⎯→ g x y ( , ) 例如 X n ⎯⎯→P 1 ， 2 ，则 P Y n ⎯⎯→ 3 P X Y n n + ⎯⎯→ 定理2 二、依概率收敛

三、大数定律10第5章大数定律及中心极限定理定理3切比雪夫大数定律设随机变量序列X,X,，,X，.两两不相关，若E（X）0,有P(x-E(x)≤e)→1ZX-ZE(X)

第5章 大数定律及中心极限定理 10 定理3 切比雪夫大数定律 三、大数定律 1 1 1 1 ( ) 1 n n i i i i P X E X n n  = =     −  →     。 设随机变量序列X X X E X D X 1 2 , , , , n i i 两两不相关，若 ( )     ， ( ) ， i =  1, 2, 0 。则对任意 ，有 p 1 1 1 1 ( ) n n i i i i X E X n n = =   ⎯⎯→