第二讲S8.2单位冲激函数（函数）(The unit pulse functions)单位冲激函数的概念和性质函数的博里叶变换
§ 8.2 单位冲激函数（δ函数） 一、 单位冲激函数的概念和性质 二、 δ函数的傅里叶变换 第二讲 (The unit pulse functions)
XeSongla为什么要引入单位冲激函数理由（1)在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位阶跃函数等等，都不能进行Fourier变换。(2)周期函数的Fourier级数与非周期函数的Fourier变换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否统一起来。(3)在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的质量等等
一、为什么要引入单位冲激函数 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行Fourier变换。 (2) 周期函数的Fourier级数与非周期函数的Fourier变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等
单位冲激函数的概念及性质1.单位冲激函数的概念定义单位冲激函数文 S(t)满足:P192(1)当 t≠0时， 8(t)=0;(2) [8(t)dt = 1.XaSong单位冲激函数S(t)又称为Dirac函数或者S函数XuSongh
二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念 (1) 当 t 0 时， (t) = 0; (2) ( )d = 1. + − t t 定义 单位冲激函数 (t) 满足： 单位冲激函数 (t) 又称为Dirac函数或者 函数。 P192
单位冲激函数的概念及性质1.单位冲激函数的概念注(1)单位冲激函数S(t)并不是经典意义下的函数，而是一个广义函数（或者奇异函数），它不能用通常意义下的“值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质来使用它。(2)单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式是由Dirac（狄拉克)给出的。单位冲激函数其它定义方式
二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念 (1) 单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而是一 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 注 (t) 来使用它。 (2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。 单位冲激函数 其它定义方式
单位冲激函数的其它定义方式1/8,0≤t≤s,(t)方式一令 8.(t)=10.其它,8则 S(t) = limS,(t).8t6-0Soag6XaSowg方式二（20世纪50年代，Schwarz）[ts(t)p(t)dt =p(0),单位冲激函数S(t)满足其中，Φ(t)EC°称为检验函数+
单位冲激函数的其它定义方式 = 0, , 1/ , 0 , ( ) 其它 t 方式一 令 t ( ) lim ( ). 0 t t → 则 = (t) t 1 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) (t) ( )( )d = (0), + − 单位冲激函数 满足 t t t 其中， 称为检验函数。 (t)C
单位冲激函数的概念及性质2.单位冲激函数的性质XaSongh筛选性质性质(1)P192设函数f(t)是定义在(-o,+)上的有界函数，性质8.1且在t=0 处连续，则 /s(t)f(t)dt= f(O).一般地，若f(t)在t=t.点连续，则s(t-to)f(t)dt = f(to).XuSougla对称性质(2)P193性质s函数为偶函数，即s(t)=s(-t).8.2
二、单位冲激函数的概念及性质 2. 单位冲激函数的性质 ( ) ( )d ( ). 0 0 t − t f t t = f t + − (2) 对称性质 函数为偶函数，即 (t) = (−t). 性质 (1) 筛选性质 设函数 f (t) 是定义在 (−, + ) 上的有界函数， 且在 t = 0 处连续， (t) f (t)d t = f (0). + − 则 一般地，若 f (t) 在 t = t 0 点连续，则 P192 性质 8.1 P193 性质 8.2
3.设u(t)为单位阶跃函数，即t>0u(t)ult0t<0则「S(t)dt = u (t)Tdu(t)(t00tdt说明广义函数与普通函数之间存在相互转化这一事实
3. 设u(t)为单位阶跃函数，即 ( ) ( ) t t dt u t − = = 0 0 1 0 ( ) t t u t ( ) ( ) d u t t dt = . 则 u(t) 1 t o 说明广义函数与普通函数之间存在相互转化这一事实
单位冲激函数的概念及性质3.单位冲激函数的图形表示，函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点出发长度为1的有向线段来表示，其中有向线段的长度代表8函数的积分值，称为冲激强度同样有，函数AS(t)的冲激强度为A。8(t)AS(t)s(t-t.)A
函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点 出发长度为1的有向线段来表示， 同样有，函数 A (t) 的冲激强度为A。 代表 函数的积分值，称为冲激强度。 二、单位冲激函数的概念及性质 3. 单位冲激函数的图形表示 t 1 (t) ( ) 0 t − t t 1 0 t A (t) t A 其中有向线段的长度
X&Son三、1单位冲激函数的Fourier变换P194。利用筛选性质，可得出函数的Fourier变换：F[8(t)] = [+"s(t)e-jotdt =e-jot|=1.t=0即 S(t)与 1构成Fourier变换对S(t)←→1.SS[S(t)]8(t)0tSo由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱
三、单位冲激函数的Fourier变换 1. 0 = e = = − t j t 由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出 函数的Fourier变换： + − − = t t j t ( )e d [ ] (t) 即 (t) 与 1 构成Fourier变换对 (t) →1. 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。 t 1 (t) 1 [ ] (t) P194
A三、单位冲激函数的Fourier变换按照Fourier逆变换公式有+1.e jotdo = S(t)F -1[1 ]2元e jotd0= 2元8(t).重要公式XiSod注在函数的Fourier变换中，其广义积分是根据函数的性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，称这种方式的Fourier变换是一种广义的Fourier变换
重要公式 e d 2π (t). j t = + − 称这种方式的Fourier变换是一种广义的Fourier变换。 注 在 函数的Fourier变换中，其广义积分是根据 函数的 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三、单位冲激函数的Fourier变换 按照Fourier逆变换公式有