第二讲89.3拉普拉斯逆变换S 9.4 拉氏变换的应用及综合举例
§9.3 拉普拉斯逆变换 §9.4 拉氏变换的应用及综合举例 第二讲
8 9.3 拉普拉斯逆变换反演积分公式利用留数计算反演积分二
§9.3 拉普拉斯逆变换 一、 反演积分公式 二、 利用留数计算反演积分
LESd豪反演积分公式一Laplace逆变换公式1.公式推导推导（(1)由Laplace变换与Fourier变换的关系可知函数f(t)的Laplace变换F(s)=F(β+jの)就是函数f(t)u(t)e-Bt的Fourier变换，即 F(s)= F(β + jo)= ( [f(t)u(t)e-βt je-jotdt.(2)根据Fourier逆变换，在f(t)的连续点t处，有f(t)u(t)e-βt :+~F(β+jw)ejotd.2元
一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 1. 公式推导 函数 f (t) 的 Laplace变换 F(s) = F( + j) 就是函数 f (t)u(t)e − t 的Fourier变换， ( ) ( ) [ ( ) ( )e ]e d . + − − − F s = F + j = f t u t t t j t 即 ( ) d . 2 1 ( ) ( )e e + − − = + t jt F j π f t u t (2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点t处，有 推导 (1) 由 Laplace变换与Fourier变换的关系可知
XESo豪反演积分公式一Laplace逆变换公式1.公式推导推导(2)根据Fourier逆变换，在f(t)的连续点t处，有f(t)u(t)e-βt = 1tF(β+jo)ejotda2元Songh(3)将上式两边同乘eβt，并由s=β+ jの，有1β+jooF(s)estds.f(t)u(t)2元jB-joo1rβ+jooF(s)estds, (t>0).即得f(t) =2元jJβ-joo
一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 1. 公式推导 在 f (t) 的连续点t处，有 ( ) d . 2 1 ( ) ( )e e + − − = + t jt F j π f t u t 推导 (2) 根据 Fourier 逆变换， (3) 将上式两边同乘 e , 并由 有 t s = + j , ( ) d . 2 1 ( ) ( ) e + − = j j st F s s π j f t u t 即得 ( ) d , (t 0). 2 1 ( ) e + − = j j st F s s π j f t
XeSongla反演积分公式—一Laplace逆变换公式2.反演积分公式根据上面的推导，得到如下的Laplace变换对F(s)= (" f(t)e-stdt;(A)↑F(s)estd s, (t > 0).f(t)(B)2元1B-jaP227（9.16）式β+ jco定义 称(B)式为反演积分公式。注反演积分公式中的积分路径是Cβs平面上的一条直线ReS=ββ-joo该直线处于F(s）的存在域中。H
定义 称(B)式为反演积分公式。 该直线处于 的存在域中。 Re s = , F(s) 注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 c + j − j P227 (9.16 )式 一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的Laplace 变换对:
求Laplace逆变换的方法二、1.留数法So利用留数计算反演积分定理设函数F(s)除在半平面Res≤c 内有有限个孤立奇点P227Si,S2,Sn外是解析的，且当S→80时，F(s)→0，则定理9.2β+jacF(s)estdsf(t):2元jβ-joonZRes[F(s)est, Sk l, (t >0).k=1证明(略)（进入证明？
二、求Laplace逆变换的方法 1. 留数法 利用留数计算反演积分。 则 定理 设函数 F(s) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点 s s sn 且当 s→ 时， F(s)→0, , , 1 2 外是解析的， Res[ ( ) e , ], 1 k st n k F s s = = (t 0). + − = j j st F s s π j f t ( ) d 2 1 ( ) e 证明 (略) st e P227 定理 9.2 (进入证明?)
求Laplace逆变换的方法二、2.查表法常用。利用Laplace变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace变换来求逆变换。大多数情况下，象函数F(s)常常为(真)分式形式P(s)F(s) :=其中，P(s)和Q(s)是实系数多项式。Q(s)由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法很容易得到象原函数。（真分式的部分分式分解）此外，还可以利用卷积定理来求象原函数
二、求Laplace逆变换的方法 2. 查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。 利用Laplace变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace 变换来求逆变换。 大多数情况下，象函数 F(s) 常常为(真)分式形式： , ( ) ( ) ( ) Q s P s F s = 其中，P(s)和Q(s) 是实系数多项式。 由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函数。 常用 (真分式的部分分式分解)
So二、求Laplace逆变换的方法2.查表法。几个常用的Laplace逆变换的性质L-i[a F(s)+ bG(s)] = a f(t)+b g(t).L-l[e-st F(s)] = f(t -t)u(t -t).L-l[F(s-a)]=e"t f(t).L-l[F(s)- F2(s)]= fi(t)* f2(t).±-[= F(s)]= f" f(t)dt.L-1[F'(s)]= -t f(t)
二、求Laplace逆变换的方法 2. 查表法 几个常用的Laplace 逆变换的性质
A求Laplace逆变换的方法二、2.查表法●几个常用函数的Laplace逆变换-1[-] =1.f-0m!m!118L-1Ya)+1m+1SSs-aI = eat cosbt.L-1cosbt.a)2bb= eat sinbt. sinbt.L-16L-[1 ] = 8(t)
二、求Laplace逆变换的方法 2. 查表法 几个常用函数的Laplace 逆变换
XaSongke5s-1例 已知F(s)=求 f(t)= -{[F(s)].(s+1)(s-2)’解方法一利用查表法求解235s-1(1) F(s) =(单根）S-2s+1(s +1)(s-2)So=e"t,有(2) 由-[0f(t) = L-[F(s)]= 2 ±-llS+1=2e-t+3e2t
( 1)( 2) 5 1 ( ) + − − = s s s F s . 1 − 2 + + = s B s A (1) (单根) 解 方法一 利用查表法求解 (2) 由 [ ] 有 1 1 s − a − e , at = ( ) [ ( )] 1 f t F s − = 2 3 . 2 e e t t = + − ] 2 1 ] 3 [ 1 1 2 [ 1 1 − + + = − − s s 2 3