第三章复变函数的积分(Lntegrationoffunctionof thecomplexvariable)83.1复积分的概念83.2柯西积分定理83.3柯西积分公式83.4解析函数的高阶导数
第三章 复变函数的积分 (Lntegration of function of the complex variable) §3.1 复积分的概念 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
第一讲83.1复积分的概念83.2柯西积分定理
§3.1 复积分的概念 第一讲 §3.2 柯西积分定理
83.1复积分的概念(Theconceptionofcomplexintegration复变函数积分的定义二、复变函数积分的计算三、复变函数积分的性质
§3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数积分的定义 二、复变函数积分的计算 三、复变函数积分的性质
复变函数积分的定义Zn-1定义3.1设ZokBSkZk（1）C是平面上一条光滑的简单曲线，起点A，终点BD(2)w = f(z)z EC0x(3)将AB任意分划成n个小弧段设分点为A= Zo,31,*",zn = B其中z = x, +iy,(k= 0,1,2,.,n)
一、复变函数积分的定义 ( , , , , ) , , , , ( ) z x i y k n A z z z B AB n k k k n 0 1 2 3 0 1 = + = = = 其 中 小弧段 设分点为 将 任意分划成 个 ⌒ (2) ( ) w f z z C = 定义3.1 设 A D B x y o 1 z k−1 z k k z n−1 z （1）C是平面上一条光滑的 简单曲线，起点A,终点B
作乘积f(k)△zk(4)V5kE Zk-1zk(5)作和式 S,=Zf(5k)△zkk=lz = Zk - Zk-1 = Ax, +iAyk,记 = maxAzk10k=1
C f z dz f z C ( ) 则 称 为 ( )沿曲线 的积分,记 作 ( ) lim ( ) . 1 0 = → = n k k k C 即 f z dz f z f z I n k k k = → = 1 0 若 lim ( ) k k k k k z z f z − ( ) 作乘积 ( ) 4 1 k k n k k k k k k n k n k z z z x y z S f z = − = + = = − = 1 1 1 i 5 , max ( ) ( ) 记 作和式
说明:()沿曲线C负方向的积分则记作。f(z)dz(2)若闭曲线C记作f_f(z)dz(3)如果[f(z)dz存在,一般不能写成f(z)dz因为[.f(z)dz不仅与a,b有关,还与曲线C的形状和方向有关
. ( ) C C C f z dz C f z dz ( ) ( ) ( ) _ 若闭曲线 记 作 曲 线 2 说明：1 沿 负方向的积分则记作 和 关 。 因 为 不 仅 还 的形状 如 果 存 在 一般不能写成 方向有 与 有关, 与曲线 , . f z dz a b C f z dz f z dz C b C a ( ) , ( ) ( ) ( ) 3
二、复变函数积分的计算定理3.1当f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲线C上连续时,f(z)必沿C可积,即[f(z)dz存在且.f(z)dz=J,udx-vdy+if,vdx+ udyf (u+iv)(dx+idy)
二、复变函数积分的计算 = + C f z C f z dz f z u x y i v x y C , ( ) , ( ) . ( ) ( , ) ( , ) 上连续时 必 沿 可 积 即 存 在 定理3.1 当 在光滑曲线 = + + C (u iv)(dx idy) = − + + C C C 且 f (z)dz udx vdy i vdx udy
证明: S,=f(5R)Az=(us +ivk)(Ax +iyk)k=lk=l2u(5kn)Ax-(5,n)Ayk=lk=1n+iZv(5k,nk)Ax +u(5k,n)Ayelk=1k=l当→0时，有maxAx,|→0,maxAy|→0,0k=lCC+i(/ v(x, y)dx+[ u(x, y)dy)=[ f(2)dzcCC
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) ( , ) = = = = + + = − n k k k k n k k k k n k k k k n k k k k i v x u y u x v y 1 1 1 1 = = = = + + n k k k k k n k n k k S f z u i v x i y 1 1 ( ) ( )( ) ( ( , ) ( , ) ) ( ) . lim lim ( ) ( ( , ) ( , ) ) 1 0 0 + + = = = − = → → C C C C C n k n k k i v x y dx u x y dy f z dz S f z u x y dx v x y dy 则 证明: 0 max 0,max 0, 1 1 → → → k k n k k n 当 时，有 x y
复变函数积分Jcf(z)dz = Jeudx-vdy +if, vdx + udy上述证明说明两个问题：(1)当f(z)是连续函数C是光滑曲线时,[,f(z)d一定存在。(2)[,f(z)dz可以通过两个二元实函数的线积分来计算。下面讨论如何将复积分化为普通积分
复变函数积分 一定存在。 （ ）当 是连续函数 是光滑曲线时， 上述证明说明两个问题 ： c f z dz f z C ( ) 1 ( ) , 线积分来计算。 （ ） 可以通过两个二元实函数 的 c 2 f (z)dz 下面讨论如何将复积分化为普通积分 = − + + C C C f (z)dz udx vdy i vdx udy
设光滑曲线C:z=z(t)=x(t)+iv(t)t:α>β由曲线积分的计算法得[f(z)dz=J,udx-vdy+if, vdx+udy(β（终）(u(x(t), y(t)x'(t)-v(x(t), y(t)y'(t)dtJα（起）β（终）(v(x(t), y(t)x'(t)+u(x(t), y(t)y'(t)dt+Jα（起）CB(u[x(t), y(t)) +i[v[x(t), y(t)(x'(t)+iy'(t)dtaf[z(t)z'(t)dt1aJ f(z)dz = ff[z(t)z'(t)dtC
+ + = − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( )) '( )} { ( ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( )) '( )} ( ) 终 起 终 起 i v x t y t x t u x t y t y t dt u x t y t x t v x t y t y t dt f z dz udx vdy i vdx udy C C C = f[z(t)]z'(t)dt = + + {u[x(t), y(t)] i[v[x(t), y(t)]}( x'(t) i y'(t))dt 设光滑曲线C :z = z(t) = x(t)+ iy(t) t : → 由曲线积分的计算法得 = f z dz f z t z t dt C ( ) [ ( )] '( )