s6.4几个初等函数构成的映射XaSongh一、幂函数指数函数、三、综合举例XaSonXeSoug
§6.4 几个初等函数构成的映射 一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例
一、幂函数W=z".（n≥2整数）1. 保形性dw解析性(1)在z平面上处处可导，且nzdzdw±0.(2) 当 z±0 时,dz单值性在z平面上不是双方单值的，比如：对于W=2,取2=e3Z2 =e"i, 则 z =z2.结论幂函数W=z"在z平面上除原点外是第一类保角映射·在角形域0<<上，如果，则幂函数W="是共形映射。H
1. 保形性 单值性 解析性 , n 一、幂函数 w = z ( n 2 整数) (1) 在 平面上处处可导，且 ; d d −1 = n nz z w z 0. d d z w (2) 当 z 0 时， 在 z 平面上不是双方单值的， 对于 , 4 w = z 结论 幂函数 在 平面上除原点外是第一类保角映射。 n w = z z 在角形域 上，如果 ，则幂函数 是 n w = z 共形映射。 0 0 0 n 2π 比如： z1 = e π 2 i e , 2 πi 取 z = . 4 2 4 1 则 z = z
、幂函数一、w=zn,（n≥2整数）2.映射特点令 z=reio,则有w=r"eine,即 [wl=r", argw=ng.2元n0.<2元0.nW=Ane.0z=n/wRnR特点幂函数W=z"扩大顶点在原点的角形域（或扇形域）。类似地，根式函数w=z作为幂函数的逆映射，其映射特点是缩小顶点在原点的角形域（或扇形域）
, n 一、幂函数 w = z ( n 2 整数) e , n in e , 则有 w = r i 令 z = r 2. 映射特点 n w = z n z = w |w| r , arg w n . n 即 = = R n R n 0 2π 0 2π n 特点 幂函数 扩大顶点在原点的角形域(或扇形域)。 n w = z 类似地，根式函数 w = n z 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域(或扇形域)。 0 n 0
例6.13设区域D={z:|z0,Rez>0),求一共形映射，将D变为上半平面(w)(z)W(z1)(z2)1+ z,Z, = zZ2W=-Z
例6.13 设区域 D z z z z = : 1, Im 0,Re 0 , 求一共形映射，将D变为上半平面。 1 i （z) （w) （z1) (z2) 2 1 z z = 1 2 2 1 1 z z z + = − 2 w z = 2 2 2 2 1 1 z w z + = −
::4元例设区域D=z:0<argz<求一共形映射将D映射成5单位圆域。P157例6.14XuSong解(z1)(z)=47714元元55(Vz)5-i(4/z)5 +i(w)Z2-i(z2)W=Z2+i-1H
5 2 1 z = z z i z i w +− = 5 4 5 4 ( ) ( ) 4 1 z = z z i z i w +− = 22 解 4 π5 (z) π5( ) 1z ( ) 2 (w) z −1 1 P157 例6.14
指数函数二、w=e?令z=x+iy,有w=e" =e*(cosy+isiny)=e*.eiy回顾[w|=e*,由z的实部得到w的模：即Argw = y+ 2k元,由z的虚部得到w的辐角。(k=0,±1,±2,..)1(2)(w)Jy+4元wy+2元etW=ezy7.xxu
二、指数函数 z w = e y + 4π y (z) x w x e z w = e v u (w) 回顾 有 e e (cos sin ) e e , z x x i y w = = y + i y = y + 2π 由z 的实部得到w 的模； 由z 的虚部得到w 的辐角。 即 | | e , x w = Argw = y + 2kπ , (k =0,1, 2, ) x y z y 令 z = x + i y
二、指数函数W=e?1. 保形性dw=ez±0解析性在z平面上处处可导，且dz单值性在z平面上不是双方单值的，比如：取 zi =Xi +iy1, Z2 = Xi +i(yi +2元), 则 e1=e32 .结论指数函数w=e~在z平面上是第一类保角映射。w=e在水平带形域0<V<h上，如果h<2元，则指数函数是共形映射
1. 保形性 单值性 解析性 在 平面上处处可导，且 0. d d = e z z w z 在 z 平面上不是双方单值的， 结论 指数函数 在 平面上是第一类保角映射。 z w = e z 在水平带形域 上，如果 则指数函数 z w = e 是共形映射。 0 y h h 2π , 二、指数函数 z w = e 取 , 1 1 1 z = x + i y ( 2 ), z2 = x1 + i y1 + π 比如： . 1 2 e e z z 则 =
指数函数二、 w=e?2.映射特点XaSongh(z)(w)hi(h<2元)ezW=(h<2元）ThXaSongh特别有(z1)(w))元i5Wi=e元-11特点指数函数w=e"将水平带形域变为角形域
2. 映射特点 z w = e h (h 2π) 特点 指数函数 将水平带形域变为角形域。 z w = e 二、指数函数 z w = e (h 2π) 1 1 e z w = πi −1 1 π πi 特别有 hi (z) (w) ( ) 1 z ( ) w1 π h = z 1 z
:例 设区域D=z：<Imz<元，求一共形映射将D映射成2上半平面。P158例6.15&Song解(z)元i(w)2(zw=e21L2(z2)元i(z1)i27H
2 e z w = i π z z 2 1 = − 2 2 1 z = z 解 π2 i πi (z) π2 i ( ) 1z πi ( ) 2 z ( ) (w) 2 2 e z i w − = P158 例6.15
三、综合举例主要步骤(一般)XaSong(1) 预处理目标使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。工具几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。2）将区域映射为角形域（或者带形域）方法将区域边界的一个交点z映射为8;【另一个（交）点2映射为0]。Z-72或者w=kw=k工具Z-Z1Z -Z1
三、综合举例 (1) 预处理 工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。 目标 使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。 (2) 将区域映射为角形域(或者带形域) [ 另一个(交)点 z2 映射为0 ] 。 主要步骤(一般) 方法 将区域边界的一个交点 z1 映射为 ; 工具 , 1 1 z z w k − = . 1 2 z z z z w k − − 或者 =