第一章函数、极限与连续函数第一节
第一节 函数 第一章 函数、极限与连续
实数及其性质1.自然数2.整数3.有理数 : =(n±0,(m,n)= 1)n4.无理数连续性、5.实数：完备性、与数轴上的点一一对应
一、实数及其性质 1.自然数 5.实数：完备性、连续性、与数轴上的点一一对应 4.无理数 2.整数 3.有理数： ( 0, ( , ) 1) m n m n n =
一、集合与区间元素1.集合、2.有限集、无限集3.子集:NCZCQCR4.区间：通用符号I
二、集合与区间 4.区间：通用符号 I 3.子集：N Z Q R 2.有限集、无限集 1.集合、元素
三、邻域1.点a的s邻域： U(a,8)={xlx-aks)2.空心邻域 : U(a,8)=(x|0 x-ak 8)
三、邻域 Ｉ 1.点 a 的 邻域： ( , ) { | | } a x x a = − 2.空心邻域： ( , ) { 0 | | } o a x x a = −
四、函数定义1.1设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果按照某种对应法则 f,对于每个 x ED1则称这个对应法则都有唯一确定的V和它相对应，贝f为定义在D上的函数，记作y= f(x), xeD
四、函数 , , , , 定义1.1 设 和 是两个变量 是一个给定 的数集。如果按照某种对应法则 对于每个 都有唯一确定的 和它相对应 则称这个对应法则 为定义在 上的函数 记作 x y , D f x D y f D y f x x D = ( ),
几个特殊的函数举例例1.绝对值函数当x≥0;X.f(x)=x-x, 当x0,x=0,f(x) = sgn(x) =30,x<0.-1
例1. 绝对值函数 , 0; ( ) , 0. 当 当 x x f x x x x = = − 例2. 符号函数 1, 0, ( ) sgn( ) 0, 0, 1, 0. x f x x x x = = = − 几个特殊的函数举例
几个特殊的函数举例例3.取证函数f(x)=[x]表示不超过x的最大整数XeQ,例4.狄里克莱函数D(x)=0, xeQ
例3. 取证函数 f x x ( ) [ ] = 几个特殊的函数举例 表示不超过 x 的最大整数. 例4. 狄里克莱函数 1, , ( ) 0, . x Q D x x Q =
函数特性1.函数的有界性若M,VxED,都有f(x)≤M,则称 f(x)在D上有界，否则，称 f(x)在 D 上无界2.函数的单调性（同中学概念）3.函数的奇偶性（同中学概念）
函数特性 1. 函数的有界性 , , ( ) , ( ) , , ( ) 若 都有 则称 在 上 有界 否则 称 在 上无界. M x D f x M f x D f x D 2. 函数的单调性（同中学概念） 3. 函数的奇偶性（同中学概念）
函数特性1.函数的周期性设 f(x)定义域为 D,如果存在常数T >0,使得Vx D,都有 f(x +T)= f(x),则称 f(x)为周期函数，T 为f(x)的周期通常说周期函数的周期是指其最小正周期2
2 T − 2 T 3 2 T − 3 2 T 1. 函数的周期性 ( ) , 0, , ( ) ( ), ( ) , ( ) . 设 定义域为 如果存在常数 使得 都有 则称 为周期函数 为 的周期 f x D T x D f x T f x f x T f x + = 函数特性 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）
课堂小结基本概念邻域、函数函数的特性：奇偶性、周期性有界性、单调性
课堂小结 基本概念 邻域、函数 函数的特性： 有界性、单调性、奇偶性、周期性