第二节偏导数
第二节 偏导数
一、一阶偏导数定义1如果Ay(x, + Ax)- f(x) = limf(x)-f(x)limlimArAr-→0 AxAr-→0x-→xox-xo存在，则称y= f(x)在x,点可导,记作f(x)江如果定义2AZf(x, + △x, yo)- f(xo,yo):limlimAxAr-→0 △xAr-→0f(x,y)- f(xo,yo)= limx→xox-xo存在，！则称该极限为z=f(x,)在(xo,)点关于x的偏导数，记作f'(xo,y）
一 、 一阶偏导数 0 0 ( ) , ( 1 y f x x f x = ). 定义 如果 存在，则称 在 点可导 记作 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x → → → x x x x + − − = = − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim ( , ) ( , ) lim , ( , ) ( , ) , ( 2 , ). x x x x x z f x x y f x y x x f x y f x y x x z f x y x y x f x y → → → + − = − = − = 如果 存在 则称该极限为 在 点关 于 的偏导数 记 定义 作
z=f(x,y)在(xo,o)点关于x的偏导数记为f'(xo,y,), f (xo,yo)α-0afX=Xaxx=XoX=XoV=yOV=yoy=yoz=f(x,)在(xo,y)点关于y的偏导数记为f,(xo,yo), f,(xo,yo)α-afx=Xo17ay=XoX=XOy=yoy=yoV=VO
0 0 z f x y x y y = ( , ) ( , ) 在 点关于 的偏导数记为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , , , , , ) . y y y x x x x x x y y y y y y f x y f x y z f z y y = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , , , , , ) . x x x x x x x x x y y y y y y f x y f x y z f z x x = = = = = = 0 0 z f x y x y x = ( , ) ( , ) 在 点关于 的偏导数记为
y例1求二元函数z=arctan的偏导数-α()-解1α-@1
1 arctan . y z x 例 求二元函数 = 的偏导数 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 1 . 1 z y y x x x y y x z x y x x y y x = − = − + + = = + + 解
例2求二元函数z=sin2xy+cos(x+y)的偏导数福az解= 2sin xycos xy · y - sin(x + y)ax= ysin2xy - sin(x + y),Oz. = 2sin xycos xy x - sin(x + y)ay= x sin2xy - sin(x + y)
2 例2 求二元函数 z xy x y = + + sin cos( ) . 的偏导数 2sin cos sin( ) sin2 sin( ), 2sin cos sin( ) sin2 sin( ). z xy xy y x y x y xy x y z xy xy x x y y x xy x y = − + = − + = − + = − + 解
一阶偏导数的几何意义就是z=f(x,y)在(xo,J)处关于x的偏导数曲面z=f(x,)与平面y=,的交线在(xo,o)点的切线对x轴的斜率就是z= f(x,y)在(xo,y)处关于y的偏导数,曲面z=f(x,J)与平面x=x,的交线在(xo,Jo)点的切线对轴的斜率
一阶偏导数的几何意义 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ; z f x y x y x z f x y y y x y x = = = 在 处关于 的偏导数 就是 曲面 与平面 的交线在 点的切线对 轴的斜率 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) . z f x y x y y z f x y x x x y y = = = 在 处关于 的偏导数 就是 曲面 与平面 的交线在 点的切线对 轴的斜率
一阶偏导数与连续的关系连续时偏导数不一定存在偏导数都存在时不一定连续例3 z =[xyl.xyx*+y2 +0,例4 z = x2x* + y2 = 0
一阶偏导数与连续的关系 连续时偏导数不一定存在, 偏导数都存在时不一定连续. 2 2 2 2 2 2 , 0, 0, 0. 4 xy x y z x y x y + = + + = 例 例3 z xy =
高阶偏导数z= f(x,J)可能有4个二阶偏导数aCCafadaxaxddS02a2d(x, y),fx(x, y),(fxr (x, y),(.(x, y),axaxayayax
二、高阶偏导数 ( ), ( ), ( ), ( ). f f f f x x y x x y y y 2 2 ( , ),( ); xx f f x y x 2 ( , ),( ); xy f f x y x y 2 ( , ),( ); yx f f x y y x 2 2 ( , ),( ). yy f f x y y z f x y = ( , ) 可能有4个二阶偏导数
例5 设函数z=x+xy2-×+,a’za’za?z求ax?ay?axdyα-az=x? + 2xy + 1,解=2xy + y2 -1,aya'za'z=2x +2y=2y,=2x,axQy?axdy
2 2 2 2 2 2 2 , , , 5 . z x y xy x y z z z x y x y = + − + 例 设函数 求 2 2 2 2 2 2 2 =2 1, = 2 1, =2 , =2 , =2 2 . z z xy y x xy x y z z z y x x y x y x y + − + + + 解
定理2.1如果函数 z= f(x,y)的两个二阶混合a'zaz偏导数连续，则这两个混axayayax合偏导数相等
2 2 ( , ) , , 2.1 z f x y z z x y y x = 如果函数 的两个二阶混合 偏导数 连续 则这两个混 合 定理 偏导数相等