第三节任意项级数
第三节 任意项级数
一、交错级数收敛的判别法定义3.1如果u,>0，则称福E(-1) , = u, - u, ++(-1) , ..n=l或E(-1)"u, - -u, + u, -...+(-1)"u., +..n=1为交错级数
一 、交错级数收敛的判别法 1 1 1 2 1 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n u u u u u u u u − − = = − = − + + − + − = − + − + − + 或 为交错级数. 3.1 0, 定义 如果un 则称
80如果交错级数定理3.1（莱布尼兹判别法）(-1)"-l u,福n=1满足(l) u, ≥un-- (n =1,2,...);(2) limu, = 0,n->808则级数(-1)"-l u, 收敛,其和S≤u，余项的绝对n=1值 |r,|≤un+1
1 1 1 1 1 1 1 ( 1) (1) ( 1,2, ); 3.1( ) (2) lim 0, ( 1) , , . n n n n n n n n n n n n u u u n u u S u r u − = − → − = + − = = − 如果交错级数 满足 则级数 收敛 其 定理 莱布尼兹 和 余项 绝对 值 判别 的 法
(-1)"-1文2例1的敛散性判定级数nn=1解 (1)u,=二un+1 (n = 1,2,.);n+1(2) limu, = lim- = 0,n-→ nn-(-1)"-12收敛nn=1
1 1 ( 1 1 ) n n n − = − 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 1 (1) ( 1,2, ); 1 1 (2) lim lim 0, ( 1) . n n n n n n n u u n n n u n n + → → − = = = = + = = − 解 收敛
80InnE(-1)"-1例2 判定级数的敛散性nn=l1-lnxInx则f'(x)解 (1)令 f(x)=(x ≥3),三2X:. f(n)> f(n+1)(n≥3),InnInx=0,lim(2) limn-X-→+8nx8Inn. E(-1)"-1收敛Yn=1
1 1 l 2 1 n ( )n n n n − = 例 判定级数 − 的敛散性. 2 1 1 ln 1 ln (1) ( ) , ( ) ( 3), ( ) ( 1) ( 3), ln ln (2) lim lim 0, ln ( 1) . n x n n x x f x f x x x x f n f n n n x n x n n → →+ − = − = = + = = − 解 令 则 收敛
绝对收敛与条件收敛二、丝定义3.2则称对任意项级数Eun，如果Zu,收敛，Zu,绝对收敛;lu,|收敛，则如果u,发散，称u，条件收敛u,收敛，则u,收敛定理3.2若级数注绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛且其和相等
二、绝对收敛与条件收敛 , , ; , , 3.2 n n n n n n u u u u u u 对任意项级数 如果 收敛 则称 绝对收敛 如果 发散 收敛 则 称 定义 条件收敛. 3.2 , 定理 若级数 u u n n 收敛 则 收敛. 注 绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛, 且其和相等
例3判定级数(p>0)的敛散性2hpn=1(-1)"-1N解绝对收敛； p>1时,npn=l(-1)"-1(-1)"-2WI收敛,发散，0<p≤1时,hphln=1(-1)"-18P2故条件收敛npn=1
1 1 ( 1) 3 ( 0) n p n p n − = − 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 , ; ( 1) ( 1) 0 1 , , , ( 1) . n p n n n p p n n n p n p n p n n n − = − − = = − = − − − − 解 时 绝对收敛 时 收敛 发散 故 条件收敛
8sinnZ例4 的敛散性判定级数h2n=lsinn解收敛，nsinnZ绝对收敛Yn
2 1 si 4 n n n n = 例 判定级数 的敛散性. 2 2 2 1 2 1 sin 1 1 , , sin . n n n n n n n n = = 收敛 绝对 解 收敛