第二节一阶微分方程2
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程形如dy= f(x)g(y)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程通解[-[ (x)t
( ) ( ) . dy f x g y dx = 形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程 ( ) ( ) . dy f x dx g y = 通解 可分离变量的微分方程
例1求微分方程y'=2xy的通解dy = 2xdx,解由y'=2xy得y两边积分得导 In y= x2 + C,即 y= Cet
例1 求微分方程 y xy = 2 的通解. 2 2 , dy y xy xdx y 解 由 = = 得 2 1 两边积分得 ln , y x C = + 2 . x 即 y Ce =
例2买求微分方程cos ydx+(1+e-x)sin ydy =0满足初值条件 y(0)=的解.解 由 cos ydx +(1+e-*)sin ydy=0得sin y dy =dx,1+e-xcos y两边积分得 Incos y= In(1+e*)+Cr即(1+e*)sec y=C,将 y(0)=～代入得 C = 2V2.所求解为 (1+e*)sec y=2/2
cos (1 )sin 0 ( 0 2 ) . 4 x ydx e ydy y − + + = = 求微分方程 满足初值条件 的解 例 cos (1 )sin 0 sin 1 , cos 1 x x ydx e ydy y dy dx y e − − + + = = − + 解 由 得 1 ln cos ln(1 ) , x 两边积分得 y e C = + + (1 )sec , x 即 + = e y C (0) 2 2. 4 y C 将 = = 代入得 (1 )sec 2 2. x 所求解为 + = e y
=()齐次微分方程dxx做换元y=ux即可化为变量可分离微分方程dudx =I(u).u+x
( ) dy y f dx x 齐次微分方程 = ( ). du u x f u d y ux x = + = 做换元 即可化为变量可分离微分方程
例3 求微分方程 xdy- yln二dx =0 的通解X解由xdy-yln二dx=0得 y=nxXXdudy得令y=ux行u+xdxdxdududx代入上式得-ulnu,u+xdxu(ln u - 1)x两边积分得 InIn u-1 = In x+Ci即 Inu-1=Cx, u= eCx+1P原微分方程通解为 =xeCx+1
3 ln 0 . y xdy y dx x 例 求微分方程 − = 的通解 ln 0 ln , y y y xdy y dx y x x x 解 由 − = = 得 , dy du y ux u x dx dx 令 = = + 得 1 两边积分得 ln ln 1 ln . u x C − = +1 . Cx y xe + 原微分方程通解为 = ln , , (ln 1) du du dx u x =u u = dx u u x + − 代入上式得 1 ln 1 , Cx u Cx, u e + 即 − = =
一阶齐次线性微分方程dy+ P(x)y=0 的通解为 y=Ce-[P(x)atdx
( ) ( ) 0 . dy P x dx P x y y Ce dx − + = = 的通解为 一阶齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程d + P(x)y=Q(x)dx常数变易法, 假设 y=C(ax)e- p(x)a为解，可得通解=e-fp(x)atJ0(x)e/ P(x)a1dx +C
( ) , , ( ) P x dx y C x e− 常数变易法 假设 = 为解 可得通解 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = ( ) ( ) ( ) . P x dx P x dx y e Q x e dx C − = + 一阶非齐次线性微分方程
例4求微分方程y+ ytanx=secx的通解解先求齐次微分方程y+ytanx=0的通解得y = Ccos x,用常数变易法，设 y=C(x)cosx 是原微分方程的解，1代入原方程得C'(x)cosx = secx,解得 C(x)=tanx+C,原微分方程通解为 y=(tanx+C)cosx
例4 求微分方程 y y x x + = tan sec . 的通解 解 先求齐次微分方程 y y x + = tan 0 的通解得 y C x = cos , 原微分方程通解为 y x+C x = ( . tan )cos , ( )cos , 用常数变易法 设 y C x x = 是原微分 方程的解 代入原方程得 解得 C x)= x+C ( , tan C x x x ( )cos sec , =
例5求微分方程xdy+(2xy－x+1)dx在 y(1)= 0 时的特解X-解(*)方程可改写成y'+二求齐次微分方程 y'+=y=0 通解得 =Cx-北用常数变易法，设 = C(x)x-2 是原微分方程的解，代入(*)得C(x)x-2 = x-1解得C(x)=- x+C.2
2 5 (2 1) (1) 0 . x dy xy x dx y + − + = 例 求微分方程 在 时的特解 2 2 1 , (*) x y y x x − 解 方程可改写成 + = 2 , ( ) , (*) y C x x− 用常数变易法 设 = 是原微分 方程的解 代入 得 2 ( , 2 x 解得 C x)= x+C − 2 2 1 ( ) , x C x x x − − = 2 2 y y y Cx 0 , x − 求齐次微分方程 + = = 通解得