第四节函数的单调性极值与最值
第四节 函数的单调性、 极值与最值
单调性的判别法定理设函数 y= f(x)在[a,b]上连续,, 在(a,b)可导，则(1) 若在(a,b)内 f'(x)>0,那么 f()在[a,bl上单调增加；(2) 若在(a,b)内 f(x)<0,那么 f(x)在[a,b]上单调减少
单调性的判别法 ( ) [ , ] , ( , ) , (1) ( , ) ( ) 0, ( ) [ , ] ; (2) ( , ) ( ) 0, ( ) [ , ] y f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b = 设函数 在 上连续 在 可导 则 若在 内 那么 在 上 单调增加 若在 内 那么 在 上 定理 单调减少
单调性的判别法推论设函数 y= f(x)在[a,b]上连续,, 在(a,b)可导，则(1)若在(a,b)内 f'(x)≥0（驻点只有有限个）那么 f(x)在[a,b]上单调增加;(2)若在(a,b)内 f(x)≤0（驻点只有有限个）那么 f(x)在[a,b]上单调减少
单调性的判别法 ( ) [ , ] , ( , ) , (1) ( , ) ( ) 0 , ( ) [ , ] ; (2) ( , ) ( ) 0 , ( ) [ , ] . y f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b = 设函数 在 上连续 在 可导 则 若在 内 （驻点只有有限个） 那么 在 上单调增加 若在 内 （驻点只有有限个） 那么 在 上单 推 调减少 论
例1 求函数 y=x3-3x的单调区间解 y' =3x2 -3,解 y'=0 得 x, =-1, x, =1,当x E(-o0,-l)或(l,+o0)时 y'>0,函数单调增加;当xE(-1,1)时 y'<0,函数单调减少
3 例1 求函数 y x x = − 3 . 的单调区间 2 解 y x = − 3 3, 1 2 解 y x x = = − = 0 1, 1, 得 当 x y − − + ( , 1) (1, ) 0, ; 或 时 函数单调增加 当 x y − ( 1,1) 0, 时 函数单调减少
例2 求函数 y=x2的单调区间2解 y'=二x3当 xE(-80,0)时 '0,函数单调增加
3 2 例2 求函数 y x = 的单调区间. 1 3 2 , 3 y x − 解 = 当 x y − ( ,0) 0, ; 时 函数单调减少 当 x y + (0, ) 0, 时 函数单调增加
函数极值的求法驻点导数等于0的点定理4.2（必要条件）讠设 f(x)在点x,处可导且在 x,处取得极值，则 f(x）=0.注可导函数的极值点一定是它的驻点，但驻点不一定是极值点
函数极值的求法 0 0 0 ( ) , , ( ) 0 ( ) . 4.2 f x x x f x = 设 在点 处可导 且在 处取得 定理 必要条件 极值 则 , . 可导函数的极值点一定是它的驻点 但 驻点不一定是极值点 注 驻点 导数等于 0 . 的点
设函数f(x)在点x定理4.3（第一充分条件）连续，且在x，的某邻域内可导，那么(1)如果在点 x的左邻域内 f'(x)>0，在点 x，的右邻域内 f'(x)0,则 f(x)在 x,处有极小值
0 0 4.3( ) ( ) , , f x x x 定理 第 设函数 在点 连续 且在 的某邻域内可 一充 条件 导 分 那么 0 0 0 (1) ( ) 0, ( ) 0, ( ) ; x f x x f x f x x 如果在点 的左邻域内 在点 的 右邻域内 则 在 处有极大值 0 0 0 (2) ( ) 0, ( ) 0, ( ) . x f x x f x f x x 如果在点 的左邻域内 在点 的 右邻域内 则 在 处有极小值
定理4.4(第二充分条件）设f（x）=0,f"(x)±0, 那么(1)如果 f"(x,)>0,f(x)是极小值;(2)如果 f"(x）<0，f(x）是极大值
0 0 ( ) =0, ( 4.4( ) ) 0, f x f x 定理 第二充分条件 设 那么 0 0 (1) ( ) 0, ( ) ; 如果 f x f x 是极小值 0 0 (2) ( ) 0, ( ) . 如果 f x f x 是极大值
3 例3 求函数=x-的极值x32解 y'=1-x3,解y'=0得x=1,(0,1)(1, +)(-00,0)xy'++:.f(0)=0是函数的极大值是函数的极小值f(1)=-2
23 3 . 2 例3 求函数 y x x = − 的极值 13 y x 1 , − 解 = − 解 y x = = 0 1, 得 x ( -∞,0) (0,1) (1, +∞) y’ + ─ + = f (0) 0 , 是函数的极大值 1 (1) 2 f = − 是 函 数 的 极 小 值
例4求函数==x2-2x2+3x+6的极值3解 y' = x2 - 4x+3, y"= 2x-4,解y=0得x =1,x, =3,y"(1)= -2 0,22是函数的极大值.: f(1),=3： f(3) = 6 是函数的极小值
1 3 2 4 2 3 6 . 3 例 求函数 y x x x = − + + 的极值 2 解 y x x y x = − + = − 4 3, 2 4, 1 2 解 y x x = = = 0 1, 3, 得 y y (1) 2 0, (3) 2 0, = − = 22 (1), , 3 = f 是函数的极大值 = f (3) 6 是函数的极小值