第六节多元函数微分学在几何中的应用
第六节 多元函数微分学在几何中的应用
一、空间曲线的切线与法平面像平面曲线那样，对空间中的曲线也可研究其切线问题国TZ.1P.MKy
一、空间曲线的切线与法平面 像平面曲线那样，对空间中的曲线也可研究其 切线问题． T y x z o P0 M
设空间曲线厂的参数方程为x=x(t), y= y(t), z=z(t) (α≤t≤β)则其切线方程为x-xo-y-yo=3-zx'(t)y'(t)z(t)T= y(x(t,),y(t,),z(t,) 是该切线的一个方向向量，称它为曲线在P，点的切向量
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ), ( ) ( ) = = . ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), ( )) , x x t y y t z z t t x x y y z z x t y t z t T y x t y t z t P = = = − − − = 设空间曲线 的参数方程为 . 则其 为 是该切线的一个方向 向量 称它为曲线 在 点的 . 切线方程 切向量
过 P, 并以向量 T = y(x'(t),y(t),z(t))为法向量的平面称为曲线I在P.的法平面.曲线I在P,的法平面方程为x'(t,)(x - x,)+ y'(t,)(y -y)+ z'(t,)(z -z,)=0.7x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( ), ( ), ( )) ( )( ) ( )( ) ( )( )=0. P T y x t y t z t P P x t x x y t y y z t z z = − + − + − 过 并以向量 为法向量的 平面称为曲线 在 的 曲 为 法平面. 线 在 的法平 面方程 y x z o T P0
例13求曲线x =2t, y= 2t2, z=t3 在(2,2,1)处的切线方程与法平面方程解点(2,2,1)对应的参数t =1,x(1) = 2, y'(1) = 4, z(1) = 3,曲线在(2,2,1)处的切线方程为x-2y-27-24法平面方程为2(x - 2) + 4(y - 2) + 3(z -1) = 0,即 2x+4y+3z-15=0
2 3 2 , 2 , (2,2,1) . 例1 求曲线 x t y t z t = = = 在 处的切线 方程与法平面方程 (2,2,1) 1, (1) 2, (1) 4, (1) 3, (2,2,1) 2 2 1 , 2 4 3 2( 2) 4( 2) 3( 1) 0, 2 4 3 15=0. t x y z x y z x y z x y z = = = = − − − = = − + − + − = + + − 解 点 对应的参数 曲线在 处的切线方程为 法平面方程为 即
如果曲线方程由y= y(x), z= z(x)形式给出，贝则曲线T在P.的切线方程为x-xo_ y- yo - z- zo1y(xo)z(x,)法平面方程为x - xo + y(t,)(y -y)+ z'(t,)(z- zo)=0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ) , = = . 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )=0. y y x z z x P x x y y z z y x z x x x y t y y z t z z = = − − − − + − + − 如 切线方 果曲线方程由 形式给出 则曲线 方 为 程 法 的 为 平面 程 在
例2买求曲线y=1-x,z= /1+2x-2x2在M(1,0,1)处的切线方程与法平面方程1-2x解 y(x)=-1, z(x)=V1+2x -2x2y(1) = 1, z'(1) = -1,曲线在M点处的切线方程为x-1 y z-l-1法平面方程为(x-1)-y-(z-1) = 0即 x- y-z=0
2 1 , 1 2 2 (1,0,1) . 例2 求曲线 y x z x x M = − = + − 在 处的切线方程与法平面方程 2 1 2 ( ) 1, ( ) , 1 2 2 (1) 1, (1) 1, 1 1 , 1 1 1 ( 1) ( 1) 0, =0. x y x z x x x y z M x y z x y z x y z − = − = + − = = − − − = = − − − − − − = − − 曲线在 点处的 解 切线方程为 法平面方程为 即
二、电曲面的切平面与法线设 M(xo,yo,z)为曲面 Z:F(x,y,z)=0 上一点且三个偏导数若 F(x,y,z)在 M 点各偏导数连续,车不同时为0.7.切平面x
y x z o M 切平面 二、曲面的切平面与法线 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 , ( , , ) , 0. M x y z F x y z F x y z M 设 为曲面 = : 上一点 若 在 点各偏导数连续 且三个偏导数 不同时为
则切平面方程为Fr(xo, yo,zo)(x - xo)+ F,(Xo, Jo,zo)(y - yo)+ F,(xo,yo,zo)(z - zo) = 0向量n =(Fr(xo,yo,zo), F,(xo, Jo,zo), F(xo, yo,zo))为曲面Z在M点的法向量法线方程为x-xoy-yoz - ZoFr(xo,Jo,zo)F,(xo,yo,zo)F,(xo,yo,zo)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z − + − + − = 则切平面方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) n F x y z F x y z F x y z x y z M = 向量 为曲面 在 点的法向量 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = . ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z − − − 法线方程为
例3求椭球面2x2+3y2+3z2=4在点(1,1,1)处的切平面方程与法线方程解 设 F(x,y,z) =2x2 +3y2 +3z2 -4,则 F, = 4x, F, = 6y, F, = 6z,F (1,1,1) = 4, F,(1,1,1) = 6, F,(1,1,1) = 6,切平面方程为 4(x-1)+6(y-1)+6(z-1)=0,即 2x+3y+3z-8=0,x-1V-7-法线方程为233
2 2 2 2 3 3 4 (1,1,1) . 3 求椭球面 x y z + + = 在点 处的切 平面方程与法线方程 例 2 2 2 ( , , ) 2 3 3 4, 4 , 6 , 6 , (1,1,1) 4, (1,1,1) 6, (1,1,1) 6, 4( 1) 6( 1) 6( 1) 0, 2 3 3 8 0, 1 1 1 = . 2 3 3 x y z x y z F x y z x y z F x F y F z F F F x y z x y z x y z = + + − = = = = = = − + − + − = + + − = − − − = 设 则 切平面方程为 即 法线方程为 解