第五节隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
设函数F(x,y)在点(xo,yo)定理1（隐函数存在定理）的某邻域内有连续的偏导数 F,(x,J),F,(x,J)，且F(xo,J)=0,F,(xo,Jo)±0, 则方程F(x,y)=0在点(x，J)的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，满足y=f(x,)，且dy _F (x,y)f'(x)=dxF,(x,y)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ), ( , )=0, ( , ) 0, ( , )=0 ( , ) ( ), ( ), . ( , ) ( ) = 1 ( ) = ( , ) x y y y x F x y x y F x y F x y F x y F x y F x dy F x y f x d y y x y f f x F x y x y x − = = 定 设函数 在点 的某邻域内有连续的偏导数 且 则方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具 有连续导数的函数 满 且 理 隐函数存在 足 定理
定理2（隐函数存在定理）设函数F(x,y,z)在点(xo,o,zo)的某邻域内有连续的偏导数 F(x,y,z),F,(x,,z),F(x, y,z), 且 F(Xo, yo,zo)=0, F,(xo,yo,zo) ± 0, 则方程F(x,,z)=0在点(x,,yo,z)的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f(x,y)满足z= f(x,Jo), 且F,(x,y,z)ozFr(x, y,z)OzaxayF(x,y,z)F(x, y,z)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )=0, ( , , ) 0, ( , , )=0 ( , , ) ( , ), ( , ), ( , , ) = ( 2 ( ) x y z z x z F x y z x y z F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z x y z z f x y z f x y z F x y z x F = = − 定 设函数 在点 的某邻域内有连续的偏导数 且 则方 程 在点 的某邻域内能唯一确 定一个单值连续且具有连续导数的 足 理 隐函数存在定 函 理 数 满 且 ( , , ) , = . , , ) ( , , ) y z z F x y z x y z y F x y z −
例1函数y=f(x)由方程F(x,)=x2+y2-1=0确定, 求f'(x).2xF,(x,Jy) - -解 f(x)=-F,(x,y)2yL
2 2 ( ) ( , ) 1 0 , ( ). 1 y f x F x y x y f x = = + − = 例 函数 由方程 确定 求 ( , ) 2 ( ) . ( , ) 2 x y F x y x x f x F x y y y 解 = − = − = −
例2 设z= f(x,y)是由方程2x2+y2 +z2-2z=0Oz Oz，求确定的隐函数，ax'ay解 令 F(x,y,z)=2x2 + y2 + z2 -2z,azF(x,y,z)4x2x则ax2z - 21-7F(x,y,z)azF,(x,y,z)2yyay2z -21-zF(x,y,z)
2 2 2 ( , ) 2 2 0 , , . 2 z f x y x y z z z z x y = + + − = 例 设 是由方程 确定的隐函数 求 2 2 2 ( , , )=2 2 , ( , , ) 4 2 , ( , , ) 2 2 1 ( , , ) 2 . ( , , ) 2 2 1 x z y z F x y z x y z z z x x F x y z x F x y z z z z y y F x y z y F x y z z z + + − = − = − = − − = − = − = − − 令 则 解
方程组确定的隐函数的微分法定理3（隐函数存在定理）设函数F(x,y,u,v),G(x,y,u,)在点(x,Jo,uo,)的某邻域内有对各变量的连续偏导数,且 F(xo,yo,uo, v)=0, G(xo,yo,uo,v)=0, 雅可比行列式aFaFs1/aua(F,G)aGa(u,v)Qu在点(xo,yo,u,)不等于0
方程组确定的隐函数的微分法 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , , ), ( , , , ) ( , , , ) , ( , , , )=0, ( , , , ) ) = 3 0 ( , F x y u v G x y u v x y u v F x y u v G x y u v 设函数 在点 的某邻域内有对各变量的连续偏 导数 且 雅可 比行列式 定理 隐函数存在定理 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , , , ) 0, F F F G u v J u v G G u v x y u v = = 在点 不等于
方程组确定的隐函数的微分法F(x,y,u,v)=0则方程组在点(xo,yo,uo,Vo)的某G(x, y,u,v)=0邻域内能唯一确定一组单值且具有连续导数的函数u=u(x,y), v=v(x,y), 满足u,=u(xo,y),Vo = v(xo, Jo), 且dudua(F,G)a(F,G)1axda(x,v)a(y,v)Ov1 (F,G)1 (F,G)安1axa(u,x)aya(u,y)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , , )=0 ( , , , ) ( , , , )=0 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), 1 ( , ) 1 ( , ) = , = , ( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) = , = ( , ) ( , F x y u v x y u v G x y u v u u x y v v x y u u x y v v x y u F G u F G x J x v y J y v v F G v F G x J u x y J u = = = = − − − − 则方程组 在点 的某 邻域内能唯一确定一组单值且具有连续导数的 函数 满足 且 . y) 方程组确定的隐函数的微分法
x+y+z=1例3求由方程组确定的函数的导数{x2 + y?+z’ =4dy dzdx' dx解方程组两边同时对x求导得业dy0+dx2x+2y:0.27dydzz-xx-1解得dxdxy-zV-z
2 2 2 1 4 , . 3 x y z x y z dy dz dx dx + + = + + = 例 求由方程组 确定的函数的导数 1 0, 2 2 2 0, , . x dy dz dx dx dy dz x y z dx dx dy z x dz x y dx y z dx y z + + = + + = − − = = − − 解 方程组两边同时对 求导得 解得