第八章多元函数积分学第一节一重积分的概念与性质
第八章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与性质
回忆求曲边梯形面积已知：矩形面积期望：曲边梯形面积y1BZ分割z=f(x,y)利用是积分可以计算曲边梯形的毛臀，空间中的一个曲顶柱体?的体何计算？1取极限D60xnZf(5,)Ax;f(x)dx = lim限10i=l
利用定积分可以计算 曲边梯形的面积，空 间中的一个曲顶柱体 的体积该如何计算？ b aA B x y = f (x) S x yO y = f (x) 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x 分割 近似代替 求和 取极限 i 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i A f x dx f x → = = = ？ 已知：矩形 面 积 期 望：曲 边梯 形 面 积 回 忆求 曲 边梯 形 面 积
一、 实例2z=f(x,y)顶柱体的体积给定曲顶柱体底：xOy面上的闭区域D；y顶：连续曲面z= f(x,y)≥0;D侧面：以D的边界为准线母线平行于z轴的柱面?曲顶柱体的体积1.平顶柱体体积期望：曲顶柱体体积已知：2.求曲边梯形面积的思想与方法
曲顶柱体的体积 ？ 曲顶柱体的体积 一 、实例 给定曲顶柱体 ; ( , ) 0; , xOy D z f x y D z = 底: 面上的闭区域 顶: 连续曲面 侧面: 以 的边界为准线 母线平行于 轴的柱面. 1. 2. 平顶柱体体积 已知: 求曲边梯形面积 期望: 体积 的 曲顶 与方法 柱体 思想
分割AZ近似代替z=f(x,y)AV, ~ f(5i,n.).△oi求和V~Zf(5,n,).A0,JAgi=lD取极限(Si, n)nZf(5,n,)-Ao,V = lim2-0i=1其中入为各小区域直径的最大值
si (i , hi ) ( , ) V f i i i i h s 分割近似代替 求和 1 ( , ) n i i i i V f h s = 取极限 0 1 lim ( , ) n i i i i V f h s → = = 其 中 为 各小 区 域 直径 的 最大值
一、一重积分的概念定义1设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数，如果把D任意分割成n个小区域△D，△D，.…,△D,，在小区域△D,(i =1,2,…,n)上任意取(5,n,)Ao,总存在一点(5;,n,),若极限lim元-0i1(其中△α为AD的面积2,为△D,的直径a = max[a,2,,..,a,j),，且该极限与对D的分割与（，n）都无关，则称这个极限值为函数(x,y)在D上的二重积分,记为[f(x,y)do,D此时称f(x,J)在D上可积
二、二重积分的概念 1 2 0 1 1 2 ( , ) , , , , , ( 1,2, , ) ( , ), lim ( , ) , , max{ , , , } , ( , ) , ( 1 , ) n i n i i i i i i i i i i n i i f x y D D n D D D D i n f D D D f x y D h h s s h → = = = 设 是定义在有界闭区域 上的有界函 数 如果把 任意分割成 个小区域 在小区域 上任意取 一点 若极限 总存在 (其中 为 的面积 为 的直径 ) 且该极限与对 的分 割与 都无关 则称这个极限值为函数 义 在 定 上的 , ( , ) , ( , ) . D f x y d f x y D s 二重积分 记为 此时称 在 上可积
1E f(5i,ni)-Aoir@o-= lim 2-0i=1积分变量被积表达式面积元素积分区域
0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i D i f x y d f s h s → = = 被积函数 被积表达式 面积元素 积分变量 积分区域
直角坐标系下的一重积分面积元素d通常表示成dxdyJ f(x, y)dxdy.AyAxAx, :Ay, =o0x
x y o s i i y i x i i = x y ( , ) . D f x y dxdy 面积元素d dxdy s 通常表示成 . 直角坐标系下的二重积分
二重积分存在的条件必要条件：被积函数在有界积分闭区域上有界充分条件：被积函数在有界积分闭区域上连续
必要条件: 被积函数在有界积分闭区域上有界. 二重积分存在的条件 充分条件: 被积函数在有界积分闭区域上连续
一、一重积分的几何意义如果f(x,J)≥0，则二重积分在几何上表示以闭区域域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积如果f(x,J)≤0，则二重积分积分值表示曲顶柱体体积的相反数如果f(x,J）在D上部分区域为正其他部分为负时二重积分积分值表示曲顶柱体体积的代数和1如果f(x,y)=1,d就是D的面积福D
( , ) 0, , ( , ) f x y D z f x y = 如果 则二重积分在几何上表示以闭区域 域 为底 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 二、二重积分的几何意义 如果 f x y ( , ) 0, 则二重积分积分值表示曲顶柱体体 积的相反数. 如果 f x y D ( , ) , , 在 上部分区域为正 其他部分为负时 二重积分积分值表示曲顶柱体体积的代数和. ( , ) 1, . D f x y d D = s 如果 就是 的面积
[/1-x?-y'da的值,例1 月用二重积分的几何意义计算D其中D:x2+ y≤1解所求一重积分等于单位球在xOv面上方的上半部分体积2元4元.: JJ /1-x?- y'da==
2 2 2 2 1 , : 1 1 D x y d D x y − − s + 用二重积分的几何意义计算 的值 其中 例 . 2 2 , 1 4 2 1 . 2 3 3 D xOy x y d − − = = s 解 所求二重积分等于单位球在 面上方的上半部分体积