
第六章向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算
第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其运算

一、向量的概.Ba向量:既有大小又有方向的量Y向量表示:以A为起点,B为终点的向量记为 AB或a.向量的模:向量的大小,记为AB或a.自由向量:不关心起点,只关心其大小与方向零向量:模为0的向量,记为0注:零向量方向可以认为是任意的,它是唯一一个方向不确定的量单位向量:模为1的向量,记为é,的单位向量记为ea
A B a 一 、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量. . A B AB a 向 :以 为起点, 为终点的向量记为 或 量表示 向量的模:向量的大小,记为 AB a 或 . 自由向量:不关心起点,只关心其大小与方向. 零向量:模为 0 0. 的向量,记为 . :零向量方向可以认为是任意的,它是唯一一个 方向不确定的量 注 1 . a e a e :模为 的向量,记为 , 的单位向量记 为 单位向量

向量相等:模相等方向相同的向量向量的负向量与的模相等,方向相反的向量两向量的夹角:若向量与b都是非零向量,将其中一个作平移,使它们有共同的起点0,记OA=a,OB=b,则称不超过 元的 ZAOB为a与b的夹角,记为(a,b)B若向量与b有一个是零向量规定其夹角可以在区间[0.元1上A任意取值
向量相等:模相等且方向相同的向量. 向量 a 的负向量:与a 的模相等,方向相反的向量. , , ( , ) a b O OA a OB b AOB a b a b = = :若向量 与 都是非零向量,将其 中一个作平移,使它们有共同的 两向量的夹角 与 的夹 起点 ,记 则称不超过 为 角,记为 的 . a b 若向量 与 有一个是零向量, 规定其夹角可以在区间[0, ]上 任意取值. A B O

向量a与b平行:夹角为0或元的向量,记为aⅡb元一的向量,记为ab向量与b垂直:夹角为2规定:零向量与任意向量都垂直共线:两向量起点放在一起时,终点与公共起点在同一直线上注:两平行向量共线共面:k(k>2)个向量起点放在一起时,它们的终点与公共起点在同一平面上C
向量 a b a b 与 平行:夹角为0 . 或 的向量,记为 // . 2 a b a b 向量 与 垂直:夹角为 的向量,记为 ⊥ 规定:零向量与任意向量都垂直. :两向量起点放在一起时,终点与公共起点在 同一 共线 直线上. 注:两平行向量共线. :k k( 2) 个向量起点放在一起时,它们的终点 与公共起点在同 共面 一平面上. a1 2 a 5 a 4 a 3 a

二、向量的运算加法:a+b=.三角形法则平行四边形法则Cbcaa注意:在三角形法则中,要“首尾”相连G零向量与任意向量的和向量还是向量0
二、向量的运算 加法:a b c + = . 平行四边形法则 三角形法则 注意:在三角形法则中,要“首尾”相连. 零向量与任意向量 a a 的和向量还是向量 . a b c b a b c

特别地,若alb: [=[a+[tb同向C [=[a-[b反向aa+(-a)= 0.一般地,a +a, +...+a,a, +a, +asar +az3
同向 b a 反向 b a 特别地,若 a b / : / c c a b = + c c a b = − a a + − = ( ) 0. 1 2 n 一般地,a a a + + + a1 2 a 3 a a a a 1 2 3 + + a a 1 2 +

向量加法符合下列运算规律:交换律:a+b=b+a.(1)结合律: a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)(2)
向量加法符合下列运算规律: (1) + = + . 交换律: a b b a (2) + + =( + )+ = +( + ). 结合律: a b c a b c a b c

减法: a-b=a+(-b)c=a+(-b)ah=a-bb三角不等式:-a+≤a+
减法: a b a b − = + −( ). b a c b − b − c a b ( ) a b = + − = − 三角不等式: a b a b a b − + +

数乘运算(一)定义:设 是一个数,并规定向量与 的乘积是一个向量a其模ai-·a,其方向为(l)>0时,aa与a同向;(2) =0时, a=0;(3)<0时,a与a方向相反数乘运算满足的运算规律)结合律:a(ua)=u(aa)-(au)a(1)分配律:(a+μ)a=aa+ua;a(a+b)=aa+ab(2)
数乘运算 ( ) a a 一 :设 是一个数,并规定向量 与 的 乘积是一个向量 定义 , 其模 a a = ,其方向为 (1) 0 , ; (2) 0 , 0; (3) 0 , a a a a a = = 时 与 同向 时 时 与 方向相反. ( ) 二 数乘运算满足的运算规律 (1) ( )= ( )=( ) . 结合律: a a a (2) ( ) = ; ( )= . 分配律: + + + + a a a a b a b

例1在平行四边形ABCD中,设 AB=a,AD=b试用a 与b 表示向量MA,MB,MC和 MD这里M是平行四边形对角线的交点解由平行四边形对角线互相平分知Da+b = AC = 2AMCabMA=--(a+b).MB-: MC=-MA, :. MC-(a+b).: 2MD= BD=-a+b, :. MD=(6-a). MB=-MD=,(a-b)
, . . 1 ABCD AB a AD b a b MA MB MC MD M 在平行四边形 中,设 = = 试用 与 表示向量 , , 和 , 这里 是平行四边形对角线的交点 例 a b AC AM + = = 2 . 解 由平行四边形对角线互相平分知 1 ( ). 2 = − + MA a b 1 , ( ). 2 MC MA MC a b = − = + 1 2 , ( ). 2 MD BD a b MD b a = = − + = − 1 ( ). 2 = − = − MB MD a b A B D C M a b