第六章向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算
第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其运算
一、向量的概.Ba向量：既有大小又有方向的量Y向量表示：以A为起点，B为终点的向量记为 AB或a.向量的模：向量的大小，记为AB或a.自由向量：不关心起点，只关心其大小与方向零向量：模为0的向量，记为0注：零向量方向可以认为是任意的，它是唯一一个方向不确定的量单位向量：模为1的向量，记为é，的单位向量记为ea
A B a 一 、向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. . A B AB a 向 ：以 为起点， 为终点的向量记为 或 量表示 向量的模：向量的大小，记为 AB a 或 . 自由向量：不关心起点，只关心其大小与方向. 零向量：模为 0 0. 的向量，记为 . ：零向量方向可以认为是任意的，它是唯一一个 方向不确定的量 注 1 . a e a e ：模为 的向量，记为 ， 的单位向量记 为 单位向量
向量相等：模相等方向相同的向量向量的负向量与的模相等，方向相反的向量两向量的夹角：若向量与b都是非零向量，将其中一个作平移，使它们有共同的起点0，记OA=a，OB=b，则称不超过 元的 ZAOB为a与b的夹角，记为（a,b)B若向量与b有一个是零向量规定其夹角可以在区间[0.元1上A任意取值
向量相等：模相等且方向相同的向量. 向量 a 的负向量：与a 的模相等，方向相反的向量. , , ( , ) a b O OA a OB b AOB a b a b = = ：若向量 与 都是非零向量，将其 中一个作平移，使它们有共同的 两向量的夹角 与 的夹 起点 ，记 则称不超过 为 角，记为 的 . a b 若向量 与 有一个是零向量， 规定其夹角可以在区间[0, ]上 任意取值. A B O
向量a与b平行：夹角为0或元的向量，记为aⅡb元一的向量，记为ab向量与b垂直：夹角为2规定：零向量与任意向量都垂直共线：两向量起点放在一起时，终点与公共起点在同一直线上注：两平行向量共线共面：k(k>2)个向量起点放在一起时，它们的终点与公共起点在同一平面上C
向量 a b a b 与 平行：夹角为0 . 或 的向量，记为 // . 2 a b a b 向量 与 垂直：夹角为 的向量，记为 ⊥ 规定：零向量与任意向量都垂直. ：两向量起点放在一起时，终点与公共起点在 同一 共线 直线上. 注：两平行向量共线. ：k k( 2) 个向量起点放在一起时，它们的终点 与公共起点在同 共面 一平面上. a1 2 a 5 a 4 a 3 a
二、向量的运算加法:a+b=.三角形法则平行四边形法则Cbcaa注意：在三角形法则中，要“首尾”相连G零向量与任意向量的和向量还是向量0
二、向量的运算 加法：a b c + = . 平行四边形法则 三角形法则 注意：在三角形法则中，要“首尾”相连. 零向量与任意向量 a a 的和向量还是向量 . a b c b a b c
特别地，若alb： [=[a+[tb同向C [=[a-[b反向aa+(-a)= 0.一般地,a +a, +...+a,a, +a, +asar +az3
同向 b a 反向 b a 特别地，若 a b / : / c c a b = + c c a b = − a a + − = ( ) 0. 1 2 n 一般地，a a a + + + a1 2 a 3 a a a a 1 2 3 + + a a 1 2 +
向量加法符合下列运算规律：交换律：a+b=b+a.(1)结合律： a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)(2)
向量加法符合下列运算规律： (1) + = + . 交换律： a b b a (2) + + =( + )+ = +( + ). 结合律： a b c a b c a b c
减法: a-b=a+(-b)c=a+(-b)ah=a-bb三角不等式：-a+≤a+
减法： a b a b − = + −( ). b a c b − b − c a b ( ) a b = + − = − 三角不等式： a b a b a b − + +
数乘运算(一）定义：设 是一个数，并规定向量与 的乘积是一个向量a其模ai-·a，其方向为(l)>0时，aa与a同向;(2) =0时, a=0;(3)<0时，a与a方向相反数乘运算满足的运算规律)结合律:a(ua)=u(aa)-(au)a(1)分配律:(a+μ)a=aa+ua;a(a+b)=aa+ab(2)
数乘运算 ( ) a a 一 ：设 是一个数，并规定向量 与 的 乘积是一个向量 定义 ， 其模 a a = ，其方向为 (1) 0 , ; (2) 0 , 0; (3) 0 , a a a a a = = 时 与 同向 时 时 与 方向相反. ( ) 二 数乘运算满足的运算规律 (1) ( )= ( )=( ) . 结合律： a a a (2) ( ) = ; ( )= . 分配律： + + + + a a a a b a b
例1在平行四边形ABCD中，设 AB=a，AD=b试用a 与b 表示向量MA,MB,MC和 MD这里M是平行四边形对角线的交点解由平行四边形对角线互相平分知Da+b = AC = 2AMCabMA=--(a+b).MB-: MC=-MA, :. MC-(a+b).: 2MD= BD=-a+b, :. MD=(6-a). MB=-MD=,(a-b)
, . . 1 ABCD AB a AD b a b MA MB MC MD M 在平行四边形 中，设 = = 试用 与 表示向量 ， ， 和 ， 这里 是平行四边形对角线的交点 例 a b AC AM + = = 2 . 解 由平行四边形对角线互相平分知 1 ( ). 2 = − + MA a b 1 , ( ). 2 MC MA MC a b = − = + 1 2 , ( ). 2 MD BD a b MD b a = = − + = − 1 ( ). 2 = − = − MB MD a b A B D C M a b