第二章解析函数(Analyticfunction)第一讲授课题目：$2.1解析函数的概念$2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系，学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Ps,思考题：1、2、习题二：1-12板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005-
1 第二章 解析函数 （Analytic function） 第一讲 授课题目：§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与调和函数的关系 教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充 分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调 和函数的关系. 学时安排：2 学时 教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念 2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性 3、了解复变函数导数的定义 教学重点：函数解析的充分必要条件 教学难点：解析函数与调和函数的关系 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P51 思考题：1、2、习题二：1-12 板书设计：一、解析函数的概念 二、函数解析的充分必要条件 三、解析函数与调和函数的关系 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出 版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等 教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005
年5月，4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月福课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：2
2 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教 育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、解析函数的概念基本掌握 2、函数解析的充分必要条件掌握不太好 3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活 4、加强课后辅导 教学过程：
s2.1解析函数的概念(Theconceptionof analyticfunction)一、复变函数的导数（Derivativeofcomplexfunction）定义（Definition）2.1设w=f(z)是在z的某邻域内有定义，对于邻域内任一点。+△z.如果J(=。+A)-f(=0)limA→0A存在有限的极限值复数A，则称f(=)在z.处可导，极限A称为(a)在=处的导数，记作F(=)，或，即dz /==f(=o +4z)- f(z0)F(=0)= lim K由此可得w=f(=)+o(I(z→0)称f(=。)μ-为函数f(=)在=。处的微分，也称函数f()在z。处可微。记作df(=0)= f'(-0)dz说明：（1）△z→0是按任意方式趋于零：(2）F(=)在z。可导与f(=)在z可微等价；(3）若f(-)在=处可导，则f(-)在=处连续(4）当→0时，会的极限不存在，称(=)在不可导.Az若w=f(2)是在点z连续，但w=f(2)在点z不一定可导并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多3
3 §2.1 解析函数的概念 (The conception of analytic function) 一、复变函数的导数（Derivative of complex function） 定义（Definition）2.1 设 w = f (z) 是在 0 z 的某邻域内有定 义，对于邻域内任一点 z + z 0 .如果 z f z z f z o z + − → ( ) ( ) lim 0 0 存在有限的极限值复数 A ，则称 f (z) 在 0 z 处可导，极限 A 称为 f (z) 在 0 z 处的导数，记作 '( ) 0 f z ，或 0 dz z z dw = . 即 z f z z f z f z z ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → '( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z → ( ) df (z ) f (z )dz f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) = 称 为函数 在 处的微分，也称函数 在 处可微。记作 说明： （1） z →0 是按任意方式趋于零； （2） ( ) ( ) ; f z 在z0可导与f z 在z0可微等价 ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z ( ) f z z f z z ; 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 0 0 0 4 0 3 → 若 w = f (z) 是在点 0 z 连续，但 w = f (z) 在点 0 z 不一定可导. 并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多
例1设f()=Rez.证明：f()在z平面上处处连续，但处处不可导。证明对于复平面上任意一点z，ArAf_Re(z+z)-Re(z)_x+△r-xAzAzAr+iAyAr+iAy当4取实数趋于0时，4f±z→1;lim不存在04当4取纯虚数趋于0时，4f/4z→0,即(z）在z不可导，由于z的任意性，f(z）在复平面上任何点都不可导学生课堂练习：F(=)=三在z平面上处处连续，但处处不可导二、解析函数的概念与求导法则（Resolutionandreportthe concept of function to laws)1、解析函数的概念（Analyticfunctionconcept）定义（Definition）2.2如果f(=)在z。及z。的某个邻域内处处可导，则称f(=)在z。处解析.如果f(-)在区域D内处处解析，则我们称f(-)在D内解析，也称f(=)是D的解析函数如果f(=)在区域G内解析，而闭区域D上每一点都属G,那么称f(=)在闭区域D上解析注1解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的注2(z)在区域D内解析，指f(z)在区域D内处处可导注3若函数在一点可导，则函数必然在这点连续注4函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一4
4 例 1 设 f (z) = Re z . 证明： f (z) 在 z 平面上处处连续，但处 处不可导. x i y x x i y x x x z z z z z f z + = + + − = + − = Re( ) Re( ) 证明 对于复平面上任意一点 , lim . 0 , 0; 0 , 1; 0 不存在 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 z f z f z z f z z → → → 即f (z)在z不可导，由于z的任意性，f (z)在复平面上任何点都不可导. 学生课堂练习： f (z) = z 在 z 平面上处处连续，但处处不可导. 二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws） 1、解析函数的概念（Analytic function concept） 定义（Definition）2.2 如果 f (z) 在 0 z 及 0 z 的某个邻域内 处处可导，则称 f (z) 在 0 z 处解析. 如果 f (z) 在区域 D 内处处解析，则我们称 f (z) 在 D 内解析， 也称 f (z) 是 D 的解析函数. ( ) . ( ) , 称 在闭区域 上解析 如果 在区域 内解析，而闭区域 上每一点都属 那么 f z D f z G D G 注 1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的. 注 2 f (z) 在区域 D 内解析，指 f (z) 在区域 D 内处处可导. 注 3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续. 注 4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一
个整体概念；注5函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析2、导数的四则运算法则（Aderivativeofthealgorithms）：设f(z)和g(z)在区域D内解析，那么f(=)土g(=)，f(z)g(a)，f(a)/g(=)（分母不为零）也在区域D内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(f(z)±g(z))=f(z)±g(z)[f(z)g(z)1'=f'(z)g(z)+f(z)g(z)'(z)g(z)-f(z)g(z)f(z)g(z)[g(z)23、复合函数求导法则（Compositefunctiontolawson）：设=f(z)在z平面上的区域D内解析，w=g()在平面上的区域D,内解析，而且当zeD时，=f(a)eD，则复合函数W=gLf(=))=h(=)在D内解析，并且有h'(=)=[g(f(=))}=g'(f(-))f(-)4、反函数的求导法则（Inversefunctionderivativerule)：设w=f(-)是在区域D内解析，且f(=)+0，反函数z=-(w)=p(w)存在且连续，则(w):/=(m) = ((w)f'(-)5
5 个整体概念； 注 5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析， 因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析. 2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms）： 设 f (z) 和 g(z) 在区域 D 内解析，那么 f (z) g(z)，f (z)g(z)， f (z)/ g(z) （分母不为零）也在区域 D 内解析，并且有下面的导数 的四则运算法则： [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) ( ))' '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = + = 2 [ ( )] '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) g z f z g z f z g z g z f z − = . 3、复合函数求导法则（Composite function to laws on）： 设 = f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析， w = g( ) 在 平面上 的区域 D1 内解析，而且当 z D 时， 1 = f (z)D ，则复合函数 w = g[ f (z)] = h(z) 在 D 内解析，并且有 h'(z) = [g( f (z))]' = g'( f (z)) f '(z) 4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)： 设 w = f (z) 是在区域 D 内解析，且 f (z) 0 ， 反 函 数 z = f w = (w) − ( ) 1 存在且连续，则 ( ) ( ) f z f ( (w)) w z w = = = 1 1 ( )
5、举例(Forexample)：(1）如果()=α（复常数)），那么=0;dzdz"=1,9(2)= nz"-ldz=1,dz（3）=的任何多项式P(a)=ao+az+...+a,-"在整个复平面解析，并且有P(2)=a, +2a2z +.+na, "-（4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与=是实变量时相同三、函数解析的一个充分必要条件（Analyticfunctionsfora full)可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理（Theorem）2.1（可微的充要条件）设函数f(a)=u(x,y)+i(x,J)在区域 D 内有定义，则f(z)在点z=x+iyeD可微的充要条件是：(1) u(x,J)与v(x,J)在(x,J)处可微;(2)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处满足柯西-黎曼（CauchyRiemann）条件（简称C-R方程）证明（必要性）设f(=)在z=x+iyeD有导数α=a+b，根6
6 5、举例(For example)： （1）如果 f (z) a （复常数），那么 0 d d ( ) = z f z ； （2） 1 d d = z z ， 1 d d − = n n nz z z ； （3） z 的任何多项式 n n P(z) = a + a z + .+ a z 0 1 在整个复平面解析，并且有 1 1 2 '( ) 2 . − = + + + n n P z a a z na z （4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解 析的，它的导数的求法与 z 是实变量时相同. 三、函数解析的一个充分必要条件（Analytic functions for a full） 可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理： 定 理 （ Theorem ） 2.1 （ 可 微 的 充 要 条 件 ） 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在 点 z = x + iy D 可微的充要条件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处满足柯西 - 黎曼（ CauchyRiemann） 条件（简称 C-R 方程） x v y u y v x u = = − . 证明（必要性）设 f (z) 在 z = x + iy D 有导数 = a +ib ，根
据导数的定义，当z+zED时（0）f(z+)- f()= α+o(I ) =(a+ib)(x +iy) +o(I D)其中，△z=Ax+iAy.比较上式的实部与虚部，得u(x+Ax,y+Ay)-u(x,y)=aAr-bAy+o(I-v(x+Ax,y+Ay)-v(x,y)=bAx+aAy+o(I△-D因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,J)与v(x,y)在(x,J)处可微，并且有α=a,号=-b,=b,=a即(充分性）设u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处可微，，并且有柯西-黎曼方程成立：=%=一%ay设器=a,器=b,则由可微性的定义，有：u(x+Ax,y+Ay)-u(x,y)=ax-bAy+o(l zD)v(x+△x,y+Ay)-v(x,y)=bx+ay+o(I D令=r+y，当z+D（0）时，令α=a+ib，有f(+)-f()=u+i=α+o(I D)=(a+ib)(x+iy)+o( D则有7
7 据导数的定义，当 z + z D 时（ z 0 ） f (z + z) − f (z) =z + o(| z |) = (a + ib)(x + iy) + o(| z |) 其中， z = x + iy .比较上式的实部与虚部，得 u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z|) v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z|) 因此，由实变二元函数的可微性定义知， u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处 可微，并且有 a b b a y v x v y u x u = , = − , = , = 即 x v y u y v x u = = − （充分性）设 u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处可微，并且有柯西-黎曼方 程成立： x v y u y v x u = = − 设 a, b, x v x u = = 则由可微性的定义，有： u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z|) v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z|) 令 z = x + iy ，当 z + z D （ z 0 ）时，令 = a +ib ，有 f (z + z) − f (z) = u + iv = z + o(| z |) = (a + ib)(x + iy) + o(| z |) 则有
=+ 4)-() = lim(α+ ()=0limAz3Az-所以，f(z)在点z=x+iyED可微的.且说明：（1）解析函数的导数形式：2+1元一%+1岁一岁一1%%一1%f(2)= ayaxaxaxay-ay-ay（2）C-R条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件[x+*0例 2 取u(x,y)= V(x,Jy)=l 0x+y?=0令f(z)=u(x,y)+iv(x,y), 则u(x,y),v(x,y)在点(0,0)满足C-R方程：罪%=0axay但u(x,y)v(x,y)在点(0,0)不连续，所以复变函数f(z)在z=0不连续，从而f（=）在z=0不可导定理（Theorem）2.2设函数f(=)=u(x,y)+iv(x,J)在区域D内有定义，则f()在D内解析的充要条件是：(1)u(x,)与v(x,y)在D内可微；(2）u(x,y)与v(xy)在D内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程）ax推论设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则F(=)在区域D内解析的充分条件是：8
8 = = + + − → → ) (| |) lim ( ( ) ( ) lim 0 0 z o z z f z z f z z z 所以， f (z) 在点 z = x + iy D 可微的.且 说明：（1）解析函数的导数形式： y u y v y u x u x v y v x v x u f z i i i i ( ) = + = + = − = − （2）C-R 条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件. 例 2 + = + = = + 0 0 0 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y u x y v x y x y xy 取 方程： 令 ，则 在点 满足 C R f z u x y iv x y u x y v x y − ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ), ( , ) (0,0) = = 0 = − = 0 x v y u y v x u , f ( z ) z . u( x, y ) v( x, y ) ( , ) f ( z) z 连续 从而 在 不可导 但 、 在点 不连续，所以复变函数 在 不 0 0 0 0 = = 定理（Theorem）2.2 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在 D 内解析的充要条件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 D 内可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 D 内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann） 条件（简称 C-R 方程） x v y u y v x u = = − 推论 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在区域 D 内解析的充分条件是：
(1)u(x,y)与v(x,y)的偏导数在D内连续(2)u(x,y)与v(x,J)在D内满足柯西-黎曼条件，简称C-R方程ax=yax例3讨论函数f()=Rez的可导性与解析性解（1）因为u=x，V=0，且=1,=0,=0,=0,O所以C-R方程在整个复平面不成立，因此w=Rez在整个复平面内处处不可导，从而不解析学生课堂讨论：讨论函数(-)=-的可导性与解析性.解()===x2+，所以u(x,J)=x2 + y2, v(x,y)=0ux=2x,u,=2y,Vx=Vy=0显然上述四个偏导在整个复平面上连续由C-R条件[2x=0[x=0(2y=0-ly=0故F(z)=只在z=0处可导，从而在复平面上处处不解析.例4讨论函数f()=ecosy+iesiny的可导性与解析性解因为9
9 (1) u(x, y)与v(x, y) 的偏导数在 D 内连续； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 D 内满足柯西-黎曼条件,简称 C-R 方程 x v y u y v x u = = − 例 3 讨论函数 f (z) = Re z 的可导性与解析性. 解（1）因为u = x，v = 0，且 u x =1, u y = 0， x v = 0， v y = 0， , . C R w Re z 不可导 从而不解析 所以 − 方程在整个复平面不成立，因此 = 在整个复平面内处处 学生课堂讨论： 讨论函数 ( ) 2 f z = z 的可导性与解析性. 解 ( ) 2 2 2 f z = z = x + y ，所以 ( , ) , ( , ) 0 2 2 u x y = x + y v x y = ux = 2x, uy = 2y, vx = vy = 0 显然上述四个偏导在整个复平面上连续 由 C − R 条件 = = = = 0 0 2 0 2 0 y x y x ( ) 2 故f z = z 只在 z = 0 处可导，从而在复平面上处处不解析. 例 4 讨论函数 f (z) e y ie y x x = cos + sin 的可导性与解析性 解 因为
u(x,y)=e'cosy,v(x,y)=ie"sin yu,=e'cosy,u,=-e'siny,y,=e'siny,y,=ecosy上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足C-R方程：axOxoyay所以函数f()=ecosy+ie"siny在整个复平面处处可导，故也处处解析，并且有['()-%+i%=e'cos y+ie' sin y=()axax(e-) =e'即例5设f(=)在区域D内解析，证明：若f(a)满足下列条件之一，则f(a)在D内为常数：(1)对每一个zED，有f'(=)=0(2）Ref()或Imf(z)在D内为常数（3）f（z）在D内为常数（4）F(=)在D内解析（5）f(=)恒在D内为实数（6）argf(z)在D内为常数证明注意：在区域D内，若u,=u,=v,=,=0,则在D内u,v为常数(1)由[()=α+/%=%-1%=0及0,=,=W,-→,=010
10 u e y u e y v e y v e y u x y e y v x y ie y x y x x x y x x x x cos , sin , sin , cos ( , ) cos , ( , ) sin = = − = = = = 上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足 C-R 方程： x v y u y v x u = = − 所以函数 f (z) e y ie y x x = cos + sin 在整个复平面处处可导，故也处 处解析，并且有 ( ) e y ie y f (z) x v i x u f z x x = + = + = cos sin 即 ( ) z z e = e 例 5 设 f (z) 在区域 D 内解析，证明：若 f (z) 满足下列条件 之一，则 f (z) 在 D 内为常数： （1）对每一个 z D ，有 f (z) =0 （2） Re f (z) 或 Im f (z) 在 D 内为常数 （3） f (z ) 在 D 内为常数 （4） f (z) 在 D 内解析 （5） f (z) 恒在 D 内为实数 （6） arg f (z) 在 D 内为常数 证明 注意：在区域 D 内，若 ux = uy = vx = vy = 0 ,则在 D 内 u, v 为常数 (1)由 ( ) = + = − = 0 y u y v x v x u f z i i 及 ux = uy = vx = vy = 0