重点难点指导第一章复数与复变函数内容：1.1复数1.2复数的三角表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大和复球面1.5复变函数重点：（1）复数的三种表示法（2）复变函数的概念（3）复变函数的极限与连续性的概念，复数的四则运算、乘方运算、开方运算。难点：（1）复平面的点集与区域（2）复数的几何表示（3）复数运算的几何意义，利用几何进行运算。重点难点解答：1.在复数的表示法中要特别注意三角表示法和指数表示法，它们有时候能使解决的问题简化。一般来讲，复数的加减法用代数表示法计算简单，而乘法、除法、乘幂和方根运算用三角表示法或指数表示法计算较简单。2.任意两个虚数不能比较大小。3.实变量函数的定义域和值域都在实直线的某个集合中，而复变函数的定义域和值域都在复平面的某个集合上。4.复数=的辐角Argz有无穷多个，它们相差2元的整数倍，称位于（-元，元中的角0为主辐角，记为argz。5.确定复数=的辐角，一般利用z的向量表示确定z在坐标系中的位置，在利用反正切公式确定=的辐角主值。当z=0时辐角无意义
重点难点指导 第一章 复数与复变函数 内容： 1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大和复球面 1.5 复变函数 重点：（1）复数的三种表示法（2）复变函数的概念（3）复变函数的极限与连续 性的概念，复数的四则运算、乘方运算、开方运算。 难点：（1）复平面的点集与区域（2）复数的几何表示（3）复数运算的几何意 义，利用几何进行运算。 重点难点解答： 1.在复数的表示法中要特别注意三角表示法和指数表示法，它们有时候能使解决的 问题简化。一般来讲，复数的加减法用代数表示法计算简单，而乘法、除法、乘幂和方 根运算用三角表示法或指数表示法计算较简单。 2.任意两个虚数不能比较大小。 3.实变量函数的定义域和值域都在实直线的某个集合中，而复变函数的定义域和值域 都在复平面的某个集合上。 4.复数 z 的辐角 Argz 有无穷多个，它们相差 2 的整数倍，称位于 (− , 中的角 为主辐角，记为 arg z 。 5.确定复数 z 的辐角，一般利用 z 的向量表示确定 z 在坐标系中的位置，在利用反正 切公式确定 z 的辐角主值。 当 z = 0 时辐角无意义
元y元当z+0时，有如下关系（-元0,y>0; x元当x=0,y>0;z=lactan +,当x<0, ≥0;argzx(=±0)artan≥-元,当x<0, <03x元当x=0,y<0,2复数z的辐角Argz是我们遇到的第一个多值函数，以后遇到的多值函数都和这个多值函数有关
当 z 0 时，有如下关系（ − arg z ， arctan 2 2 y x − ） ( 0) arctan , 0, 0; , 0, 0; 2 arctan , 0, 0; arctan , 0, 0; 0, 0; arg z y x y x x y y x y x y x y x x y z = = + − = 当 当 当 当 - ,当 2 复数 z 的辐角 Argz 是我们遇到的第一个多值函数，以后遇到的多值函数都和这个多 值函数有关
第二章解析函数内容：2.1解析函数的概念2.2解析函数和调和函数的关系2.3初等函数重点：（1）复变函数导数的概念及其求法，（2）解析函数的概念，（3）用柯西一一黎曼条件判断函数解析性的方法，（4）从解析函数的实（虚）部求其虚（实）的方法。难点：（1）初等函数的解析性（2）解析函数与调和函数的关系重点难点解答：1.判断函数可导或解析的方法1)利用可导与解析的定义由定义，一个函数在二。解析，除在该点可导外，还必须在该点的某一个邻域内可导，两个条件必须都满足。而要判断一个函数在区域D内解析，只要判断它在D内可导即可。故判断函数是否解析，归结为判断函数是否可导的问题，而函数可导可用定义验证。2)利用可导与解析的充要条件函数f()=u(x,y)+iv(xy)在区域D内有定义，则f()在点z=x+iyED可微的充要条件是：(1)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处可微；(2)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程)
第二章 解析函数 内容： 2.1 解析函数的概念 2.2 解析函数和调和函数的关系 2.3 初等函数 重点：（1）复变函数导数的概念及其求法，（2）解析函数的概念，（3）用柯西- -黎曼条件判断函数解析性的方法，（4）从解析函数的实（虚）部求其虚（实）的方 法。 难点：（1）初等函数的解析性（2）解析函数与调和函数的关系 重点难点解答： 1.判断函数可导或解析的方法 1)利用可导与解析的定义 由定义，一个函数在 0 z 解析，除在该点可导外，还必须在该点的某一个邻域内可 导，两个条件必须都满足。而要判断一个函数在区域 D 内解析，只要判断它在 D 内可 导即可。 故判断函数是否解析，归结为判断函数是否可导的问题，而函数可导可用定义验证。 2)利用可导与解析的充要条件 函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在点 z = x + iy D 可微 的充要条件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称 C-R 方 程）
=%=OvXayax若上述条件中有一个不成立，则f（-）在该点不可导，从而不解析。而函数f(=)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内解析的充要条件是：(1）u(x,J)与v(x,y)在D内可微；(2)u(x，y）与v(xy）在D内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程)=uOv=1axayayax2.C--R方程是本章的一个重点，它不仅可以判别函数在一点的解析性，而且还可用来求复变函数的导数ou+ov_ov+ov_Ou_,ou_v_,ouf'(2)=axaxdyaxax-ay"ay!"ay它也说明了不是任意两个存在连续偏导数的函数都可以组成一个解析函数的实部与虚部，它们之间有着密切的联系。3．对数函数Lnz=ln=+iArgz是一个多值函数，它的每一分支在除去原点和负实轴外处处解析，虽然它保持了实对数的某些运算性质，但表达的含义不同，这一点要注Ln三= Lnz, - Lnz2意。等式的左右两Ln(z22) = Lnz, + Lnz2 ,22边都是集合，上式表示给出左边的任一个分支，一定有Lnz，的一个分支和Lnz,的一个分支，使得它们的和或差与之对应。4。幂函数z°=ebLz一般来讲是多值函数，当b为整数时，=”=ell为一单值函数，-而="为一n值函数。5.已知解析函数的实部或虚部求解析函数有以下几种方法：
x v y u y v x u = = − 若上述条件中有一个不成立，则 f z( ) 在该点不可导，从而不解析。 而函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在 D 内解析的充要条 件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 D 内可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 D 内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称 C-R 方 程） x v y u y v x u = = − 2. C-R 方程是本章的一个重点，它不仅可以判别函数在一点的解析性，而且还可 用来求复变函数的导数 y u i y v y u i x u x v i y v x v i x u f z − = − = + = + ( ) = 它也说明了不是任意两个存在连续偏导数的函数都可以组成一个解析函数的实部与 虚部，它们之间有着密切的联系。 3. 对数函数 Lnz z iArgz = + ln 是一个多值函数，它的每一分支在除去原点和负实 轴外处处解析，虽 然它保持了实对数的某些运算性质，但表达的含义不同，这一点要注 意。 1 2 1 2 Ln z z Lnz Lnz ( ) = + ， 1 1 2 2 z Ln Lnz Lnz z = − 等式的左右两 边都是集合，上式表示给出左边的任一个分支，一定有 Lnz1 的一个分支和 Lnz2 的一个分 支，使得它们的和或差与之对应。 4. 幂函数 b bLnz z e = 一般来讲是多值函数，当 b 为整数时， n n z ln z e = 为一单值函数， 而 1 n z 为一 n 值函数。 5. 已知解析函数的实部或虚部求解析函数有以下几种方法：
（1）偏积分法，（2）不定积分法（2）线积分法得(1）偏积分法：若已知实部u=u（x,y），利用C-R条件，ax ay两边积分，得Ou对udy+g(x)(*)JaxayaxO(ruddy（*）再对（*）式两边对x求偏导，得+g'(x)axOu_-av得ua(rudy)+g(x)，可求出g(x)：由C-R条件，axayayax(axOu虚部V代入（*）式，可求得dy+g(x)ax(2）线积分法：若已知实部u=u(x,y)，利用C-R条件可得avowdx+ouou dy,dx+dy=dyaxaxayayouou(x,y)dx+故虚部为vdy+c;ayax(0.0)由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中（xo,）与（x,y)是解析区域中的两点。(3）不定积分法：若已知实部u=u（x.v），根据解析函数的导数公式和C-R条件得知，ouovouour(a)=axoyaxay将此式右端表示成的函数U()，由于f()仍为解析函数，故（c为实常数）f(=)=JU(=)dz+c
（1） 偏积分法， （2）不定积分法 （2）线积分法 (1）偏积分法：若已知实部 u u x y = ( , ) ，利用 C R− 条件，得 , v v x y ； 对 v u y x = 两边积分，得 ( ) u v dy g x x = + （*） 再对（*）式两边对 x 求偏导，得 ( ) v udy g x x x x = + （**） 由 C R− 条件， u v y x = − ，得 ( ) u udy g x y x x = − + ，可求出 g x( ) ； 代入（*）式，可求得 虚部 ( ) u v dy g x x = + 。 (2）线积分法：若已知实部 u u x y = ( , ) ，利用 C R− 条件可得 v v u u dv dx dy dx dy x y y x = + = − + ， 故虚部为 ( ) ( ) 0 0 , , x y x y u u v dx dy c y x = − + + ； 由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 ( x y 0 0 , ) 与 ( x y, ) 是解析区域中的两点。 (3）不定积分法：若已知实部 u u x y = ( , ) ，根据解析函数的导数公式和 C R− 条件得 知， ( ) u v u u f z i i x y x y = + = − 将此式右端表示成 z 的函数 U z( ) ，由于 f z ( ) 仍为解析函数，故 f z U z dz c ( ) = + ( ) （ c 为实常数）
注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u
注：若已知虚部 v 也可用类似方法求出实部 u
第三章复变函数的积分内容：3.1复积分的概念3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.4解析函数的高阶导数重点：（1）求复变函数在曲线上的积分，（2）会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，（3）柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分难点：（1）复变函数积分的定义和性质，（2）不定积分的概念重点和难点解答：1.复积分[.f()d-的值不仅与起点和终点有关，而且与积分路径有关，只有当(2)在单连通区域D内解析时，「.F(=)d-才仅与起点和终点有关，此时沿任何一条曲线上得积分值相等，故可沿某些特殊的曲线进行积分。2.柯西积分定理、复合闭路定理、闭路变形原理是计算沿封闭路线积分的理论依据，而柯西积分公式、高阶导数公式为主要工具，在被积函数较复杂情况下，需要对被积函数作适当变形，然后再联合使用定理、公式和性质
第三章 复变函数的积分 内容： 3.1 复积分的概念 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式 3.4 解析函数的高阶导数 重点：（1）求复变函数在曲线上的积分,（2）会用柯西积分定理和复合闭路定理计算 积分,（3）柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分 难点： （1）复变函数积分的定义和性质,（2）不定积分的概念 重点和难点解答： 1.复积分 ( )d C f z z 的值不仅与起点和终点有关，而且与积分路径有关，只有当 f z( ) 在单连通区域 D 内解析时， ( )d C f z z 才仅与起点和终点有关，此时沿任何一条曲线上得 积分值相等，故可沿某些特殊的曲线进行积分。 2.柯西积分定理、复合闭路定理、闭路变形原理是计算沿封闭路线积分的理论依据， 而柯西积分公式、高阶导数公式为主要工具，在被积函数较复杂情况下，需要对被积函数 作适当变形，然后再联合使用定理、公式和性质
第四章解析函数的级数表示内容：4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数重点：（1）理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛，（2）知道幂级数的概念，了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质。（3）正确理解泰勒展开定理、罗朗展开定理。难点：（1）泰勒定理，（2）e，Snz，ln(1+=)，（1+z)"的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数（3）会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开成罗朗级数。重点难点解答：1.解析函数展开成泰勒级数的常用方法f()(=0)，于是f(z)=1）直接法：直接求出c，c.(-z0)" 。=n=02）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。2.常用函数在=。=0的泰勒展开式22二+2"=1+2+<81) e'=+...n!"=o n!2!3!-"=1+z+?+..+-"+..<121-2n
第四章 解析函数的级数表示 内容： 4.1 复数项级数 4.2 复变函数项级数 4.3 泰勒级数 4.4 洛朗级数 重点：（1）理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛，（2）知道幂级数的 概念，了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质。 （3）正确理解泰勒展开定理、罗朗展开定理。 难点：（1）泰勒定理,（2） z e ，sin z ，ln(1+ z) ， (1+ z) 的麦克劳林展开式，并 会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数（3）会用间接的方法将简单的函数在其孤 立奇点附近展开成罗朗级数。 重点难点解答： 1. 解析函数展开成泰勒级数的常用方法 1）直接法：直接求出 ( ) ! 1 0 ( ) f z n c n n = ，于是 = = − 0 0 ( ) ( ) n n n f z c z z 。 2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求 导、逐项求积等方法将函数展开。 2.常用函数在 0 z = 0 的泰勒展开式 1） 2 3 0 1 1 ! 2! 3! ! n z n n z z z e z z n n = = = + + + + + + z 2） 2 0 1 1 1 n n n z z z z z = = = + + + + + − z 1
W(-1)"(-1)"_2n+12n+1+..乎<83)sinz==Z++3!5! (2n+1)/(2n+1)!Ky22( =1-(-1)" 2n +.<84)=COSZ+-...+2!4!(2n)!= (2n)3.圆环内解析函数展开成洛朗级数方法：洛朗级数一般只能用间接法展开
3） 3 5 2 1 2 1 0 ( 1) ( 1) sin (2 1)! 3! 5! (2 1)! n n n n n z z z z z z n n + + = − − = = − + − + + + + z 4） 2 4 2 2 0 ( 1) ( 1) cos 1 (2 )! 2! 4! (2 )! n n n n n z z z z z n n = − − = = − + − + + z 3.圆环内解析函数展开成洛朗级数方法：洛朗级数一般只能用间接法展开
第五章留数及其应用内容：5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用5.4对数留数与辐角原理重点：（1）孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质，（2）留数的概念，（3）留数定理。难点：（（1）函数在极点处留数的计算方法（2）用留数定理计算闭路积分及一些实积分。重点和难点解答：1．孤立奇点的分类1）可去奇点：展开式中不含z-z的负幂项；f(=)=co +c(z-z0)+c2(=-z0) +..2）极点：展开式中含有限项z一z。的负幂项；C_(m-1)CC-1+Co +c(≥-z0)+c(z-z0) +..f(-) =+(-)++(z-z0)"(z-z0)g(=)(2-20)m其中g(=)=C-m+c-(m-1)(z-z.)+..+c_,(z-z)m- +c(z-z)"+..在z。解析，且g(=)±0,m≥1,c_m+0;3）本性奇点：展开式中含无穷多项z一=。的负幂项；
第五章 留数及其应用 内容： 5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算中的应用 5.4 对数留数与辐角原理 重点：（1）孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质，（2）留数的概念， （3）留数定理。 难点：（1）函数在极点处留数的计算方法（2）用留数定理计算闭路积分及一些实积 分。 重点和难点解答： 1. 孤立奇点的分类 1）可去奇点：展开式中不含 0 z z − 的负幂项； ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 2 0 f z c c z z c z z = + − + − + 2）极点：展开式中含有限项 0 z z − 的负幂项； ( ) ( 1) 1 2 1 0 1 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z − − − − − = + + + + + − + − + − − − ( ) 0 , ( )m g z z z = − 其中 ( ) 1 ( 1) 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) m m m m g z c c z z c z z c z z − = + − + + − + − + − − − − 在 0 z 解析，且 ( 0 ) 0, 1, 0 m g z m c − ； 3）本性奇点：展开式中含无穷多项 0 z z − 的负幂项；