第四章解析函数的级数表示(The representation of power series of analyticfunction)第一讲授课题目：S4.1复数项级数S4.2复变函数项级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性，学时安排：2学时教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质，3、正确掌握幕级数和函数的解析性教学重点：复数项级数教学难点：幂级数和函数的解析性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Pi00-10思考题：1、2、习题三：1-5板书设计：一、幂级数二、幂级数收敛半径R的求法三、幂级数和函数的解析性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) 第一讲 授课题目：§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数 项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和 函数的解析性. 学时安排：2 学时 教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛 半径，了解幂级数的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性 教学重点：复数项级数 教学难点：幂级数和函数的解析性 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P100−101 思考题：1、2、习题三：1-5 板书设计：一、幂级数 二、幂级数收敛半径 R 的求法 三、幂级数和函数的解析性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月，课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程：s4.1复数项级数(Seriesof complexterms)一、复数序列的极限（Limitofthepluralarray）设(=,（n=1,2.)为一复数序列，其中z,=a+ibi,2=a2+ib2...z,=an+ibn...按照=,1是有界或无界序列，来定义(,为有界或无界序列设=是一个复常数.如果任给8>0，可以找到一个正数N，使得当n>N时，有Izn-z0k8,那么我们说(,）收敛或有极限=。，或者说）是收敛序列，并且
等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径 2、基本掌握幂级数和函数的解析性 3、课后要答疑 教学过程： §4.1 复数项级数 (Series of complex terms) 一、复数序列的极限（Limit of the plural array） 设 { }n z (n =1, 2, ) 为一复数序列，其中 , ,., ,. 1 1 1 2 2 2 n n n z = a + ib z = a + ib z = a + ib 按 照 {| |} n z 是有界或无界序列，来定义 { }n z 为有界或无界序列. 设 0 z 是一个复常数.如果任给 0 ，可以找到一个正数 N ， 使得当 n N 时，有 | − | 0 z z n , 那么我们说 { }n z 收敛或有极限 0 z ，或者说 { }n z 是收敛序列，并且
收敛于z。，记作lim=,=20如果序列(-,)不收敛，则称(,)发散，或者说它是发散序列.定理（Theorem）4.1设zo=a+ibzn=an+ibn(n=1,2,)，则limzn=z的充分必要条件是lima,=a,limb,=b,证明：由下列不等式la,-a|及b,-b=,-za,-a|+|b,b可知，limz,=zlima,=a,limb,=b,因此，有下面的注解：注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列(=)收敛于≥0’注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商。二、复数项级数及其敛散性（ComplexandtheConvergenceof Series)设(,（n=1,2.）为一复数序列，表达式Zi+z2+..+zn+..称为复数项级数.记作，其部分和序列为：S, =z,+z2+...+zn
收敛于 0 z ，记作 0 lim z z n n = →+ . 如果序列 { }n z 不收敛，则称 { }n z 发散，或者说它是发散序列. 定理（Theorem）4.1 设 z0 = a + ib n n n z = a + ib (n =1, 2, ) ，则 0 lim z z n n = →+ 的 充分必要条件是 lim a a, lim b b, n n n n = = →+ →+ 证明：由下列不等式 | | | | | | | | | | 0 a a b b z z a a b b n − 及 n − n − n − + n − 可知， = →+ 0 lim z z n n lim a a, lim b b, n n n n = = →+ →+ 因此，有下面的注解： 注 1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列 { }n z 收敛于 0 z ， 注 2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两 个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极 限的和、差、积、商. 二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series) 设 { }n z (n =1, 2, ) 为一复数序列，表达式 . . z1 + z2 + + zn + 称为复数项级数.记作 + n=1 n z ，其部分和序列为： n n S = z + z + . + z 1 2
如果序列(S收敛，那么就称级数节-收敛：如果limS，=S，合那么说艺的和是S，或者说，收敛于S，记作二n=Z=,=a'=如果序列S发散，那么就称级数发散r=例1当|zk1时，判断级数1+z+z?+..+z"+..是否收敛？解：部分和1-≥+11S,=1+z+z?+...+z"1-z1-z1-2当|zk1时，有lim」zn+=0，从而有+12+1lim0=lim-0n-001-zZ1所以limS这就是说，当z<1时，级数1-z1+z+z?+.+z"+..1收敛，其和为一，即当|zkl时.1+z+2?+..+z"+...1-2定理（Theorem）4.2设=，=a,+ib，，则级数艺z，收=1敛的充分必要条件是≥，与≥b，都收敛.-定理（Theorem）4.3级数艺=，收敛的必要条件是n=1
如果序列 { }n S 收敛，那么就称级数 + n=1 n z 收敛；如果 Sn S n = → lim ， 那么说 + n=1 n z 的和是 S ，或者说 + n=1 n z 收敛于 S ，记作 = + n=1 n z ， 如果序列 { }n S 发散，那么就称级数 + n=1 n z 发散. 例 1 当 | z | 1 时，判断级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 是否收敛？ 解：部分和 z z z z z S z z z n n n n − − − = − − = + + + + = + + 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 当 | z | 1 时，有 lim 0 1 = + →+ n n z ，从而有 0 1 0 lim 1 lim 1 1 = − = − + → + →+ z z z z n n n n 所以 z Sn n − = →+ 1 1 lim ，这就是说，当 | z | 1 时，级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 收敛，其和为 1− z 1 ，即当 | z | 1 时 z z z z n − + + + + + = 1 1 1 . . 2 定理（Theorem）4.2 设 n n n z = a + ib ，则级数 + n=1 n z 收 敛的充分必要条件是 + n=1 an 与 + n=1 bn 都收敛. 定 理 （ Theorem ） 4.3 级 数 + n=1 n z 收敛 的 必 要条件是
lim=,=0,证明：因为级数收敛的充分必要条件是产，与x二n=l艺，都收敛，，再由实级数x，与，收敛的必要条件是=n=llim x" =0lim y" =0-定理（Theorem）4.4若级数产1=，收敛，则级数2n=也收敛.2,=,1收敛，则称绝对收敛定义4.1若级数h=In=l非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛例2判别下列级数的收敛性i心(2)(3)(1)2″栏（n= n解：（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛注3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数又。收敛必要与充分条n=l件是：任给ε>0，可以找到一个正数N，使得当n>N时，对任意正整数P，有I2n++ +2n+2 +..+2n+p k?本节重点掌握：（1）复数项级数及其敛散性判别法
lim = 0, →+ n n z 证明：因为级数 + n=1 n z 收敛的充分必要 条件 是 + n=1 n x 与 + n=1 n y 都收敛，再由实级数 + n=1 n x 与 + n=1 n y 收敛的必要条件是 lim = 0 →+ n n x lim = 0 →+ n n y 定理（Theorem）4.4 若级数 + n=1 n z 收敛，则级数 + n=1 n z 也收敛. 定义 4.1 若级数 | | 1 n= n z 收敛, 则称 n=1 n z 绝对收敛. 非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛. 例 2 判别下列级数的收敛性 （1） = + 1 2 1 n n i n （2） n=1 n n i （3） =1 2 n n n i 解：（1）发散 （2）条件收敛 （3）绝对收敛 注 3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推 广到复数项级数，如： 柯西收敛原理（复数项级数）：级数 n=1 n z 收敛必要与充分条 件是：任给 0 ，可以找到一个正数 N ，使得当 n N 时， 对任意正整数 P ，有 + + + + + + | . | n 1 n 2 n p z z z 本节重点掌握： （1）复数项级数及其敛散性判别法
都收敛(2)T一收敛的充分必要条件是产与艺b=I1=（3）级数艺=，收敛的必要条件是lim2==0,84.2复变函数项级数(Series of functionof complexvariable)一、复变函数项级数（ComplexFunctionSeries）设f,(-)n=1,2,）在复平面区域D内有定义，称其为复变函数序列，记为（(f,(=).称表达式2 f.() = f()+ f()+ f()+..(1)-为区域D内的复变函数项级数.其前n项和S,(α)= f()+ f()+...+ f,()称为（1）的部分和若对点zeD，lim S,(=)=S(a)，则称J,(=)在点zeD收7=敛于S(a)，称Zf,(=)在区域D内收敛于 S(a).也称 S(a)为级n=数f.(=)的和函数1=例3在区域|zk1内，函数项级数1+z+z2+...+="+收敛于即
（2） + n=1 n z 收敛的充分必要条件是 + n=1 an 与 + n=1 bn 都收敛. （3）级数 + n=1 n z 收敛的必要条件是 lim = 0, →+ n n z §4.2 复变函数项级数 (Series of function of complex variable) 一、复变函数项级数(Complex Function Series) 设 f (z)(n =1,2, ) n 在复平面区域 D 内有定义, 称其为复 变函数序列, 记为 f n (z).称表达式 = =1 ( ) n n f z f 1 (z)+ f 2 (z)+ f 3 (z)+ （1） 为 区域 D 内的复变函数项级数.其前 n 项和 S (z) f (z) f (z) f (z) n = 1 + 2 ++ n 称为（1）的部分和. 若对点 z D , S (z) S(z) n n = → lim ，则称 =1 ( ) n n f z 在点 z D 收 敛于 S(z) ,称 =1 ( ) n n f z 在区域 D 内收敛于 S(z).也称 S(z) 为级 数 =1 ( ) n n f z 的和函数 例 3 在区域 | z | 1 内，函数项级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 收敛于 1− z 1 ，即
[zk11+z+z2+z"+定义：若V>O,3N>O,当n>N时，对一切zEE有Zf()-f(a)kek=lf,(=）在 E上一致收敛于(-),则称n=i一致收敛的Cauchy收敛准则(Uniform convergence of Cauchy convergence criterion)J,(=)在E上一致收敛当且仅当Ve>0,N>0，当n>N-有1时，对一切pEN，-切ZEE,fu+()+ f+2()+... fu+r(2) 1 < 8.优级数准则（Excellentseriesstandards)α。为一收敛的正项级数，且「T,(3)Iα，=设P则J,()在E上一致收敛ZEE.1.2、...n=l级数f,(-)的和函数f(a)有如下性质：n=l连续性（Continuity）NJ,(=)在设f,()n=1,2,..在复平面点集E上连续，并且1=E上一致收敛于f()，则f()在E上连续
z z z z n − + + + + + = 1 1 1 . . 2 | z | 1 定义: 若 > 0,N > 0, 当 n > N 时, 对一切 z E, 有 − = | ( ) ( ) | 1 f z f z n k k 则称 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛于 f (z). 一致收敛的 Cauchy 收敛准则 (Uniform convergence of Cauchy convergence criterion) =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛当且仅当 > 0,N > 0, 当 n > N 时 , 对一切 p N , 一 切 z E, 有 | f (z) f (z) f (z) n+1 + n+2 + n+ p | < . 优级数准则 (Excellent series standards) 设 n=1 n 为一收敛的正项级数, 且 | f (z) n | n, n = 1,2, , z E. 则 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛. 级数 =1 ( ) n n f z 的和函数 f (z) 有如下性质： 连续性(Continuity) 设 f n (z),n =1,2, 在复平面点集 E 上连续, 并且 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛于 f (z), 则 f (z) 在 E 上连续
可积性（Integrability）设f,(),n=1,2,...在简单曲线c上连续，并且级数J()在C7=上一致收敛于f()，则 [f,(=)dz=[f(=)dz7=1内闭一致收敛(Uniformconvergenceinclosed)设函数f(-),n=1,2,...在复平面上区域D内解析，如果T.(z)在D内的在一有界闭区域上一致收敛，则称f.(2)n=lT=在D中内闭一致收敛魏尔斯特拉定理（Theorem，StellaofEr，Wei）2f,(E) 在设函数f,(-),n=1,2.…．在区域D内解析，并且=D内内闭一致收敛于f()。则(1）f(=)在D内解析，并且在D内(2) f(P(2)=Zr(P)(2) (zED,p=1,2,...)n=l二、级数(PowerSeries)形如Zα,(=-。)"=α +α(=-=)+α,(=-=)+.α,(2-=0)"+. (1)的复变函数项级数称为幂级数,其中α，(n=0,1,2,..)均为复数.显然，（1）在点z收敛
可积性(Integrability) 设 f n (z),n =1,2, 在简单曲线 C 上连续, 并且级数 =1 ( ) n n f z 在 C 上一致收敛于 f (z) , 则 = n= c c f n (z)dz f (z)dz 1 内闭一致收敛(Uniform convergence in closed) 设函数 f n (z),n =1,2, 在复平面上区域 D 内解析, 如果 =1 ( ) n n f z 在 D 内的在一有界闭区域上一致收敛, 则称 =1 ( ) n n f z 在 D 中内闭一致收敛. 魏尔斯特拉定理（Theorem, Stella of Er, Wei） 设函数 f n (z),n =1,2, 在区域 D 内解析, 并且 =1 ( ) n n f z 在 D 内内闭一致收敛于 f (z) . 则 （1） f (z) 在 D 内解析, 并且在 D 内 （2） = = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n p n p f z f z ( z D , p= 1,2, ) 二、幂级数(Power Series) 形如 ( ) ( ) ( ) . ( ) . 0 2 0 1 0 2 0 0 − 0 = + − + − + + − + + = n n n n n z z z z z z z z （1） 的复变函数项级数称为幂级数,其中 (n = 0,1,2, ) n 均为复数. 显然，（1）在点 0 z 收敛
首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abe1）定理：定理（Theorem）4.5如果幂级数α,(=-=)在z(+zo)收n=0敛，则幂级数（1）在圆域|z-zKz-z1内绝对收敛证明：设=为圆域|z-zz,-z内任一点，因为幕级数α(=-2)"在z(±z)收敛，所以有n=0lim α,(zj-z0)"=0,因此存在着有限常数M，使得lα,(,-=)"M(n=0,1.)则有<N[α,(z-z0)"Hα,(1-z0)"2,-202,-Z0由于级数-收敛,所以此幂级数在满足z0l"z-z的任何点z不仅收敛，而且绝对收敛推论(Inference)如果幂级数艺α,(=-=)"在z(+z)发散，n=0那么对满足|z-zz1-z1的任何它都发散证明：用反证法，设=为满足=一2。z,-2。1内任一点，若幂级数（1）在点=收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知Zα,(5j-=0)"n=0
首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abel）定理： 定理（Theorem）4.5 如果幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 收 敛，则幂级数（1）在圆域 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内绝对收敛. 证明：设 z 为圆域 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内任一点， 因为幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 收敛，所以有 lim ( 1 − 0 ) = 0 →+ n n n z z ， 因此存在着有限常数 M ，使得 | ( ) | ( 0,1,.) z1 − z0 M n = n n . 则有 n n n n n n z z z z M z z z z z z z z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 | ( ) | | ( ) | − − − − − = − 由于级数 + = − − 0 1 0 0 k Z Z Z Z M 收敛，所以此幂级数在满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何点 z 不仅收敛，而且绝对收敛. 推论(Inference)如果幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 发散， 那么对满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何 z 它都发散. 证明：用反证法，设 z 为满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内任一点，若 幂级数（1）在点 z 收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知 + = − 0 1 0 ( ) n n n z z
收敛.与题设矛盾.因此满足|=-z。z=。1的任何点z幂级数艺α(="都发散.证毕n=0关于（1）的收敛性有下面三种情况：中对于任意z。幂级数α,(-)都发散第一种n=0第二种中对于任意幂级数α,(-2)都收敛M=0第三种若存在一个复数≥,20，使得艺α,(=-）"收敛，n=0α.(2-20)"则由阿贝尔（Abel）定理，在|z-zz,-z|内，）n=0绝对收敛另外又存在一个复数≥2，使得艺α（=2-=。"发散，则由阿贝尔n=0（Abel）定理，对满足zzz的任何z，α,(z)"1=0发散.在第三种情况下，可证明，存在一个有限正数R，使得α,("在圆周R内绝对收敛，在圆周Rn=0的外部发散.R称为幂级数（1）的收敛半径；|z-z。R为收敛圆周.注4：第一种，约定R=0，第二种，约定R=+00
收敛.与题设矛盾.因此满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何点 z 幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 都发散.证毕 关于（1）的收敛性有下面三种情况： 第一种 对于任意 0 z z 幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 都发散. 第二种 对于任意 z 幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 都收敛. 第三种 若存在一个复数 1 0 z z ，使得 + = − 0 1 0 ( ) n n n z z 收敛， 则由阿贝尔（Abel）定理，在 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内， + = − 0 0 ( ) n n n z z 绝对收敛. 另外又存在一个复数 2 z ，使得 + = − 0 2 0 ( ) n n n z z 发散，则由阿贝尔 （Abel）定理，对满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何 z ， + = − 0 0 ( ) n n n z z 发散. 在第三种情况下，可证明，存在一个有限正数 R ,使得 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在圆周 | z − z0 |= R 内绝对收敛，在圆周 | z − z0 |= R 的外部发散. R 称为幂级数 (1) 的收敛半径; | z − z0 |= R 为收 敛圆周. 注 4：第一种，约定 R = 0 ，第二种，约定 R = +