S2连续函数的性质在本节中，我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质.熟练地掌握和运用这些性质是具有分析修养的重要标志一、连续函数的局部性质二、闭区问上连续函数的性质三、反函数的连续性四、一致连续性前页返回后页
前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回
一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指：若函数f在点x连续（左连续或右连续），则可推知f在点x，的某个局部邻域（左邻域或右邻域）内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质前页后页返回
前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 x0 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保
定理4.2（局部有界性）若函数f在点x，连续，则f在某邻域U(x）上有界定理4.3（局部保号性）若函数f在点x.连续，且f(x)>0(或f(x)0, 当 xe(x, -8,x, +8) 时,(或 f(x)r后页返回前页
前页 后页 返回 0 f U x 在某邻域 ( ) . 上有界 定理4.2（局部有界性） 若函数 f 在点 x0 连续， 则 f (x) r (或 f (x) −r 0), 0 0 0 ( ) ( ( ) 0) , − r f x f x r r 或 的正数 存在 0 定理4.3（局部保号性） 若函数 f x 在点 连续,且 ( ) 0 ( ( ) 0 ) , f x0 或 f x0 则对任意一个满足 0 0 − + 0, ( , ) , 当 时 x x x
定理4.4（连续函数的四则运算)若函数f(x),g(x)均在点x，连续，则函数(1) f(x)+g(x),(2)f(x) -g(x),(3) f(x)·g(x),(4) f(x) / g(x), g(x ) ±0在点x，也是连续的。后页返回前页
前页 后页 返回 (1) ( ) ( ), f x g x + (2) ( ) ( ), f x g x − 定理4.4（连续函数的四则运算） 若函数 f x g x ( ), ( ) 均在点x0连续,则函数 0 (3) ( ) ( ), f x g x (4) ( )/ ( ), ( ) 0 f x g x g x 0 在点 也是连续的 x
若函数f(x)在点x,连续，g(u)在点u定理4.5连续,u,=f(x,). 则复合函数g(f(x)在点x,连续证 由于g(u)在点 u,连续,因此对于任意的 ε>0,存在s >0,当|u-u,<s 时,有1 g(u)-g(u,) /<后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 连续, ( ). u f x = 0 则复合函数 在点 连续 g f x x ( ( )) . 0 定理4.5 若函数 f x x ( )在点 0 连续，g u u ( )在点 0 , 存在 1 0 1 当 | | , u u − 时 有 0 | ( ) ( ) | , g u g u − 证 因此对于任意的 0 , 0 由于 g u u ( ) , 在点 连续
又因为f(x)在点x,连续，故对上述 8 >0存在s>0,当x-x,<8 时,有I f(x)-f(x,)/-u-u, /<s于是1 g(f(x)-g(f(x, ))/=1g(u)-g(u.)/<这就证明了g(f(x))在点x连续后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 又因为 在点 连续 故对上述 f x x ( ) , 0 , 0 存在 − 0, | | , 当 x x 时 有 0 0 1 | ( ) ( ) | | | , f x f x u u − = − 0 0 | ( ( )) ( ( )) | | ( ) ( ) | , g f x g f x g u g u − = − 于是 0 这就证明了 g f x x ( ( )) . 在点 连续
例1 求 lim sin(1-x)x-→1解 sin(1-x")可视为 g(u)=sinu, u=(1-x')的复合，所以lim sin(1 - x") = sin(lim(1 - x') = 0.x-→>1x-返回前页后页
前页 后页 返回 limsin(1 ) sin(lim(1 )) 0. 2 1 2 1 − = − = → → x x x x limsin(1 ). 2 1 x x − → 例1 求 2 2 解 sin(1 ) ( ) sin , (1 ) − = = − x g u u u x 可视为 的复 合，所以
注:若g(u)在u.连续,lim f(x)=uo，则有x-→xolim g(f(x)= g(uo)=g(lim f(x),(*)x-→xox-Xo事实上，只要补充定义（或者重新定义）f(x）=u使得f(x)在点x，连续，应用定理4.5，就得到所需要的结论. 若将 lim f(x)=u,改为x-xolim f(x)=uo, lim f(x)=u, 或 lim f(x)=uo ,x-→+8X>8（*）式相应的结论仍旧是成立的后页返回前页
前页 后页 返回 lim ( ( )) ( ) (lim ( )). 0 0 g f x g u0 g f x x→x x→x = = (*) 使得 f x x ( ) . 在点 0 连续 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 0 0 0 ( ) , lim ( ) , x x g u u f x u → 注:若 在 连续 = 则有 0 0 lim ( ) x x f x u → 需要的结论.若将 = 改为 lim ( ) , x u0 f x = →+ 0 lim f (x) u x = →− lim ( ) , x u0 f x = → 或 事实上,只要补充定义（或者重新定义） 0 0 f x u ( ) =
sin x求lim,2例2x-0x解 因为g(u)=Vu在u=1连续,所以sinxsinX)=~2-1=1.limlim(2x-0x-1x例3 求 lim sin(1 + 1)X-0解因为lim(l+l)"=e,sinu在点u=e连续,所以X00lim sin(1 + l)* = sin e.x-→00后页返回前页
前页 后页 返回 例2 . sin lim 2 0 x x x − → 求 解 因为 g u u u ( ) 1 , = = 在 连续 所以 ) 2 1 1. sin lim(2 sin lim 2 0 1 − = − = − = → → x x x x x x 例3 ) . 1 lim sin(1 x x x + → 求 解 1 lim(1 ) e , sin e , x x u u → x 因为 + = = 在点 连续 所以 ) sine. 1 lim sin(1+ = → x x x
二、闭区间上连续函数的性质定义1设f(x)为定义在数集D上的一个函数.若存在x,ED,使得对一切 xED,均有f(x)≤f(x)(f(x)≥f(xo)),则称f(x)在D上有最大(小）值，x，称为最大(小)值点，f(x)称为f(x)在D上的最大(小)值后页返回前页
前页 后页 返回 存在x0 D ,使得对一切 x D, 均有 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ), 0 x0 f x f x f x f 二、闭区间上连续函数的性质 定义1 设 f x D ( ) . 为定义在数集 上的一个函数 若 则称 f x D ( ) ( ) , 在 上有最大 小 值 0 x 称为最大( ) 小 值 0 点, f x f x D ( ) ( ) ( ) . 称为 在 上的最大 小 值