S2隐函数组隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的一般思想，又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题一、隐函数组概念二、隐函数组定理三、反函数组与坐标变换前页后页返回
前页 后页 返回 隐函数组的存在性、连续性与可微性是 函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐 函数组的一般思想, 又可进而讨论反函数 组与坐标变换等特殊问题. 返回 §2 隐 函 数 组 三、反函数组与坐标变换 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理
一、隐函数组概念设有一组方程F(x, y,u,v) = 0,(1)G(x,y,u,v)= 0,其中 F与 G 定义在 VcR.若存在 D,EcR,使得对于任给的(x,J)E D, 有惟一的(u,v)EE与之对应,能使 (x,y,u,v)eV,且满足方程组(1)则称由(1)确定了隐函数组后页返回前页
前页 后页 返回 一、隐函数组概念 设有一组方程 ( , , , ) 0, (1) ( , , , ) 0, F x y u v G x y u v = = 则称由 (1) 确定了隐函数组 之对应, 能使 ( , , , ) , (1), x y u v V 且满足方程组 其中 定义在 若存在 2 D E, R , 4 F G 与 V R . 使得对于任给的 ( , ) , x y D 有惟一的 ( ) u, v E 与
u = u(x, y),(x,y)eD, (u,v)EE,V=v(x,y),并有F(x,y,u(x,y),v(x,y)) = 0,(x,y)eD.G(x,y,u(x,y),v(x,y)) = 0,关于隐函数组的一般情形（含有m+n个变量的m个方程所确定的n个隐函数)，在本章不作详细讨论.后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ), ( , ) , ( , ) , ( , ), u u x y x y D u v E v v x y = = 并有 ( , , ( , ), ( , )) 0, ( , ) . ( , , ( , ), ( , )) 0, F x y u x y v x y x y D G x y u x y v x y 关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详 细讨论．
首先来看看，若由方程组（1)能确定两个可微的隐函数u=u(x,y)与v=v(x,y),则函数 F、G应满足何种条件呢？不妨先设F、G都可微，由复合求导法，通过对(1)分别求关于x与关于y的偏导数，得到Fx + Fuux + F,vx = 0,(2)[Gx +Guux +G,Vx = 0;F, + Fuu, + F,y, = 0,(3)G, +Guu, +G,v, = 0.后页返回前页
前页 后页 返回 首先来看看, 若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐 函数 u u x y v v x y = = ( , ) ( , ) 与 , 则函数 F、G 应满 足何种条件呢? 不妨先设 F、G 都可微, 由复合求导法, 通过对 (1) 分别求关于 x 与关于 y 的偏导数, 得到 0 , (2) 0; x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v + + = + + = 0 , (3) 0 . y u y v y y u y v y F F u F v G G u G v + + = + + =
能由(2)与(3) 惟一解出(ux,Vx)与(uy,",)的充要条件是雅可比（Jacobi）行列式不等于零，即Fu F,a(F,G) def(4)+0.a(u,v)|GuG,由此可见，只要F、G具有连续的一阶偏导数，且Jp。0，其中 Po(xo,yo,uo,vo)是满足(1)的某一初始点，则由保号性定理，3U(P)，使得在此邻域内(4)式成立.根据以上分析，便有下述隐函数组定理后页返回前页
前页 后页 返回 能由 (2) 与 (3) 惟一解出 (ux ,vx ) 与 (uy ,vy ) 的充要 条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即 def 0 . (4 , ) ( ) ( , ) u v u v F G F F J u v G G = == 由此可见，只要 F、G 具有连续的一阶偏导数，且 J P0 0 , 其中 P x y u v 0 0 0 0 0 ( , , , ) 是满足 (1) 的某一 初始点, 则由保号性定理， U(P0 ), 使得在此邻域 内 (4)式成立． 根据以上分析, 便有下述隐函数组定理
雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国前页后页返回
前页 后页 返回 雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ）
二、隐函数组定理定理18.4（隐函数组定理）设方程组（1）中的函数F与G满足下列条件：(i) 在以点P(xo,Jo,uo,vo)为内点的某区域 VR4上连续；(ii) F(P)=G(P)=0 (初始条件);(ii)在 V内存在连续的一阶偏导数;_ (F,G)(iv) J p,= a(u,v) Po±0.后页返回前页
前页 后页 返回 定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数 F 与 G 满足下列条件： (i) 在以点 P0 (x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 为内点的某区域 4 V R 上连续； (ii) ( ( ) ( ) 0 初始条件); F P0 = G P0 = (iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数； (iv) 0 . ( , ) ( , ) 0 0 = P P u v F G J 二、隐函数组定理
则有如下结论成立：1°必定存在邻域U(P)=U(Qo)×U(Wo)cV，其中Qo =(xo, yo), Wo =(uo, Vo), 使得V(x, y)e U(Qo), 3!(u,v) eU(Wo),u=u(x,y),即有(x,y)eU(Qo), (u,v) eU(Wo);V=v(x,y),且满足 uo = u(xo,o), Vo = v(xo,yo) 以及F(x, y,u(x,y),v(x,y) = 0,(x, y) e U(Qo).G(x, y,u(x, y),v(x,y) = 0,后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ) ( ), !( , ) ( ), 0 U W0 x y U Q u v 即有 = = ( , ) ( ), ( , ) ( ); ( , ), ( , ), 0 U W0 x y U Q u v v v x y u u x y ( , , ( , ), ( , )) 0, ( , , ( , ), ( , )) 0, F x y u x y v x y G x y u x y v x y ( , ) ( ). U Q0 x y 则有如下结论成立： 且满足 0 0 0 0 0 0 u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) 以及 1 必定存在邻域 ( ) ( ) ( ) , U P0 = U Q0 U W0 V 其中 0 0 0 0 0 0 Q x y W u v = = ( , ), ( , ), 使得
2° u(x,y),v(x,y) 在U(Qo) 上连续3° u(x,y),v(x,y)在U(Q)上存在一阶连续偏导数，且有Quova(F,G)a(F,G)axaxa(x,v)a(u,x)QuOv1 a(F,G)a(F,G)ayayJ a(y,v)Ja(u,y)本定理的详细证明从略（第二十三章有一般隐函数定理及其证明），下面只作一粗略的解释：前页后页返回
前页 后页 返回 2 o u x y v x y ( , ), ( , ) 在 上连续. 0 U Q( ) 3 o u x y v x y ( , ), ( , ) 在 U Q( ) 0 上存在一阶连续偏导 数, 且有 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) . ( , ) v F G x J u x v F G y J u y = − = − 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) ; ( , ) u F G x J x v u F G y J y v = − = − 本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函 数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:
①由方程组(1)的第一式F(x,y,u,v)=0确定隐函数 u=β(x,y,v),且有Px =-Fx/Fu, P,=-F,/Fu,P, =-F,/Fu.② 将 u=(x,,v) 代入方程组(1)的第二式,得H(x,y,v) =G(x,y,p(x,y,v),v) = 0.③再由此方程确定隐函数v=v(x,y)，并代回至u=p(x,y,v(x,y) =u(x,y)这样就得到了一组隐函数u=u(x,y), v=v(x,y)后页返回前页
前页 后页 返回 ① 由方程组 (1) 的第一式 F x y u v ( , , , ) 0 = 确定隐 函数 u x y v = ( , , ), 且有 , , . x x u y y u v v u = − = − = − F F F F F F H x y v G x y x y v v ( , , ) ( , , ( , , ), ) 0. = = u x y v x y u x y = = ( , , ( , )) ( , ) . ② 将 u x y v = ( , , ) 代入方程组(1) 的第二式, 得 ③ 再由此方程确定隐函数 v v x y = ( , ) , 并代回至 这样就得到了一组隐函数 u u x y v v x y = = ( , ), ( , )