《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十五章 傅里叶级数 第三节 收敛定理的证明

S3收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明，为此先证明两个预备定理预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）若函数f在[一元，元]上可积，则.aoE(a +b))≤-""f'(x)dx.(1)2n=1其中a，b,为的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等式.前页后页返回

前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先 证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [−π, π] 上可积, 则  − = + +    2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式. 返回

证令"o + Z(a, cos x + b, sin nx)Sm(x) =2n=1考察积分[" [f(x) - Sm(x)'dx= [", F"(x)dx -2" f(x)S.(x)dx + [" S%(x)dx. (2)由于", (x)S.(x)dx=[" (x)dx2 J后页返回前页

前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + +  考察积分 − −  π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x − − − = − +    π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x − − =   由于

+(a, J" f(x)cos nxdx +b, ", f(x)sin nxdx)n=1根据傅里叶系数公式(81(10)可得2元x =a +元(a, +b,).(3)[" f(x)S.(x)dx2n=1对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性,有[", Sm(x)dx12m-doZ(a, cos nx + b, in nx)1dx2n=1后页返回前页

前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x − − = + +    根据傅里叶系数公式(§1(10))可得 − =  = + +  π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有 − π 2 π S x x m ( )d − =   = + +       2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x

[m1CTNma,++元Z(d, +b),(4)n2n=1将(3),(4)代入(2)，可得0 ≤ [" f(x) - S.(x)'dx元a,-πZ(d, +b)C-= J" f"(x)dx2n=1l因而前页后页返回

前页 后页 返回 − − − =     = + +             2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b = = + +  将(3), (4)代入(2)，可得 −  −  π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x − = = − − +   2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而

+(a + b)≤"1(x)dx,2元n=1它对任何正整数m成立,而[,[F(x)}dx为有限值,元所以正项级数80ao+Z(a +b)12n=1的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式(1)成立后页返回前页

前页 后页 返回 − = + +    2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而 π 2 π 1 [ ( )] d π f x x − 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b  = + +  的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立

推论1若f为可积函数，则lim (" f(x)cos nx dx = 0,1-0(5)lim J f(x)sin nx dx = 0,一因为(1)的左边级数收敛,所以当 n→ 时，通项a,+b,→0, 亦即有an→0与b,→0,这就是(5) 式这个推论称为黎曼一勒贝格定理推论2若f为可积函数，则后页返回前页

前页 后页 返回 推论1 若 f 为可积函数, 则 π π π -π lim ( )cos d 0, (5) lim ( )sin d 0, n n f x nx x f x nx x → − →  =   =     因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n →  时, 通项 2 2 0 n n a b + → 0 n a → 0 n , 亦即有 与 b → , 这就是 (5) 式, 这个推论称为黎曼－勒贝格定理. 推论2 若 f 为可积函数,则

1xdx = 0.f" f(x)sinlimn+-2)1-00(6)1"f(x)sin0limxdxn+-2)元-0证由于1xxsinx = cos=sin nx + sin=cos nx,n+=122V所以1" f(x)sin n+})xdx =2前页后页返回

前页 后页 返回 → → −    + =          + =         π 0 π π 1 lim ( )sin d 0, 2 (6) 1 lim ( )sin d 0, 2 n n f x n x x f x n x x 1 sin cos sin sin cos , 2 2 2 x x n x nx nx   + = +     π 0 1 ( )sin d 2 f x n x x   + =      证 由于 所以

xxf(x)f(xinsinx+cos nxdxcos-oJ22-" F(x)sinnxdx+ f F,(x)cos nxdx,(7)0其中x,0≤x≤元,f(xCoSF(x) =20,一元≤x<0,x,0≤x≤元,f(x)sin =F(x) =20,-元≤x<0.前页后页返回

前页 后页 返回     = +           π π 0 0 ( )cos sin d ( )sin cos d 2 2 x x f x nx x f x nx x π π 1 2 π 0 F x nx x F x nx x ( )sin d ( )cos d , (7) − = +   1 ( )cos ,0 π , ( ) 2 0 , π 0, x f x x F x x     =    −   2 ( )sin ,0 π , ( ) 2 0 , π 0. x f x x F x x     =    −   其中

显见F与F,和f一样在[-元,元]上可积.由推论1,(7)式右端两项积分的极限在n→ 时都等于零.所以左边的极限为零同样可以证明lim Jf(x)xdx = 0.)sin n+:T2n->80预备定理2若f是以2元为周期的函数,且在[一元,元]上可积，则它的傅里叶级数的部分和S,(x)可写成后页返回前页

前页 后页 返回 式右端两项积分的极限在 n →  时都等于零. 所以 左边的极限为零. 同样可以证明 → −   + =      0 π 1 lim ( )sin d 0. n 2 f x n x x 上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 ( ) S x n 可写成 显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7) F1 F2 [−π, π] 预备定理2 若 f 是以2 π 为周期的函数, 且在 [−π, π]

1n+sin2,S,(x)==[" f(x +t)(8)dt,t元一元2sin2当 t=0 时，被积函数中的不定式由极限1n+sin12limn+-t2t→02sin2来确定。前页后页返回

前页 后页 返回 −     +   +  π π 1 sin 1 2 ( )= ( ) d , (8) π 2sin 2 n n t S x f x t t t 当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限 →     +   = + 0 1 sin 2 1 lim 2 2sin 2 t n t n t 来确定