S2 一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要前页后页返回
前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回
定理13.8（极限交换定理）设函数列{f,}在(a,x)U(xo,b)上一致收敛于f(x),且对每个n,lim f,(x)=an,则 lima,和lim f(x)均存在且相等.即x-→Xon->00x→Xo(1)lim lim f,(x) = lim lim f,(x).x→xo n->00n-00 x-→xo证先证{a,}是收敛数列.对任意ε>0，由于(f,}一致收敛，故存在正整数N,当 n>N及任意正整数p对一切 x E(a,x)U(xo,b) 有I f,(x)- fn+p(x)k8.后页返回前页
前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { }n f 在 0 0 ( , ) ( , ) a x x b 上一致收敛于 f x( ) , 且对每个 n, 0 lim ( ) , n n x x f x a → = lim n n 则 和a → 0 lim ( ) . x x f x → 均存在且相等 即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ). (1) n n x x n n x x f x f x → → → → = { }n a 0 { }n 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 f 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 0 0 x a x x b ( , ) ( , ) 有 | ( ) ( ) | . n n p f x f x − +
从而Ian -an+p I= lim I f,(x) - fn+p(x)即 lim lim f,(x) = A,n→0 x→xg下面证明 lim f(x)= lim lim f,(x)= A.x-→xo n→0x-→xo注意到If(x)-A f(x)- fn+i(x)/+Ifn+i(x) -an+1 /+|an+1-A|后页返回前页
前页 后页 返回 从而 0 | | lim | ( ) ( ) | . n n p n n p x x a a f x f x + + → − = − { }n a → lim , n = n 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 设 a A 即 0 lim lim ( ) , n n x x f x A → → = 下面证明 0 0 lim ( ) lim lim ( ) . n x x x x n f x f x A → → → = = 注意到 | ( ) | f x A− 1 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N − + − + − f x f x f x a a A + + + +
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定的任意正数即可由于f,(x)一致收敛于f(x)，a,收敛于A,因此对任意>0,存在正数N,当n>N时,对任意x(a,x)U(xo,b), 有C1.f,(x)-f(x)k和 la,-A<133同时成立.特别当 n= N+1时,有返回前页后页
前页 后页 返回 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 由于 f x n ( ) 一致收敛于 f x( ) ， an 收敛于 A , 因此对任 | ( ) ( ) | | | 3 3 n n f x f x a A − − 和 同时成立. 特别当 n N = + 1 时, 有 ( , ) x b 0 , 有 意 0 , 存在正数 , 当 n N 时, 对任意 0 N x a x ( , )
1-Ak2I fn+(x)- f(x)0，当x-→xo0<x-x时,也有O1 ma(0)-amkg这样,当x满足0<-x<时,I f(x) -A[ f(x)- fn+i(x)/+I fn+i(x)-an+1 I888+Ian+1-A<= 8,333后页返回前页
前页 后页 返回 | ( ) ( ) | | | + + 1 1 − − 3 3 N N f x f x a A 和 + + → = 0 1 1 lim ( ) , N N x x 又因为 f x a 故存在 0 , 当 0 0 | | − x x 时,也有 1 1 | ( ) | . 3 N N f x a + + − 0 这样 当 满足 时 , 0 , x x x − − − + − + + + 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | N N N f x A f x f x f x a + − + + = +1 | | , 333 N a A
这就证明了lim f(x)= A.x-xo定理指出：在一致收敛的条件下，{f,(x)中关于独立变量x与 n的极限可以交换次序,即(1)式成立类似地,若 f,(x)在(a,b)上一致收敛,且 lim f,(x)x-→at存在,则有 lim lim f,(x)= lim lim f,(x);x->at n-0n-→0 x->a*若 f,(x)在(a,b)上一致收敛,且 lim f,(x)存在,则有x-blim lim f,(x) = lim lim f,(x)x-b-n-on->00x-b返回前页后页
前页 后页 返回 这就证明了 → = 0 lim ( ) . x x f x A 定理指出: 在一致收敛的条件下, { ( )} n f x 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. , ( ) ( , ) n 类似地 若 在 f x a b lim ( ) n x a f x 上一致收敛 → + , 且 存在, 则有 → → + + → → lim lim ( ) lim lim ( ); n n = x a x a n n f x f x ( ) ( , ) lim ( ) , n n x b 若 f x a b f x 在 上一致收敛,且 − 存在 则有 → → → − − → → lim lim ( ) lim lim ( ). n n = x b x b n n f x f x
定理13.9 (连续性)若函数列(f,}在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续证 设 x,为I 上任一点.由于 lim f,(x)=f,(x),于X是由定理 13.8 知 lim f(x)也存在,且lim f(x)= lim f,(xo) = f(xo)x-→Xon>0因此f(x)在x上连续定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上一定不一致收敛后页返回前页
前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 { }n f 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 → = 0 0 0 . lim ( ) ( ), n n x x 设 为 上任一点 由于 x I f x f x 于 是由定理 13.8 知 0 lim ( ) x x f x → 也存在, 且 → → = = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ), n x x n f x f x f x 0 因此 在 上连续 f x x ( ) . 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛
例如：函数列(x"}的各项在(-1,1]上都是连续的,但0,-1<x<1,其极限函数f(x)=在x=1时不连1, x=1续,所以({x"在(-1,1]上不一致收敛定理13.10 (可积性)若函数列(f,)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则(3)lim J' J.(x) dx = J'lim f,(x) dx.18n后页返回前页
前页 后页 返回 { }n 例如: 函数列 x 的各项在 ( 1, 1] − 上都是连续的, 但 其极限函数 0, 1 1, ( ) 1, 1 x f x x − = = 在 x = 1时不连 { }n 续, 所以 x 在 ( 1, 1] − 上不一致收敛. { }n 定理13.10 (可积性) 若函数列 f 在 [ , ] a b 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则 lim ( ) d lim ( ) d . (3) b b n n n n a a f x x f x x → → =
证设f为函数列(f,}在[a,b]上的极限函数.由定理13.9知f在[a,b]上连续,从而fn (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积.于是(3)变为lim ' f,(x) dx = f' f(x) dx.(3)1因为在[a,b]上f,一致收敛于f,故对于任意ε>0,存在N,当 n> N 时, 对一切 x e[a, b],都有I f,(x)- f(x)N时有返回前页后页
前页 后页 返回 { }n 证 设 f 为函数列 f 在 [ , ] a b 上的极限函数. 由定理 [ , ] a b ( 1,2, ) n 13.9知 f 在 上连续, 从而 f n = 与 f 在 [ , ] a b 上都可积. 于是(3)变为 lim ( ) d ( ) d . (3 ) b b n n a a f x x f x x → = [ , ] , n 因为在 上 一致收敛于 a b f f 故对于任意 0 , 存在 N n N x a b , , [ , ], 当 时 对一切 都有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 再根据定积分的性质, 当 n N 时有
[" f,(x)-I" f(x)dx=["(F.(x)-f(x) dx≤J'lf,(x)- f(x)dx ≤8(b-a),这就证明了等式(3)这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换前页后页返回
前页 后页 返回 − = − ( ) ( ) d ( ( ) ( )) d b b b n n a a a f x f x x f x f x x ( ) ( ) d ( ), b n a − − f x f x x b a 这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换