S3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质与收敛判别，与无穷积分的性质与收敛判别相类似.因此本节内容大都是罗列出一些基本结论，并举例加以应用，而不再进行重复论证前页后页返回
前页 后页 返回 瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积 §3 瑕积分的性质与收敛判别 内容大都是罗列出一些基本结论, 并举 分的性质与收敛判别相类似. 因此本节 返回 例加以应用, 而不再进行重复论证
定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则）[f(x)dx(瑕点为a)收敛的充要条件是瑕积分任给 >0,存在8>0,当 u,u, (a,a+8)时,I" f(x)dx- I" f(x)dx -" (x)dx 0,3S>0.V u,u, E(a,a+), F(u)-F(u,)<s,后页返回前页
前页 后页 返回 定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则） 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d . b b u u u u f x x f x x f x x − = ( )d ( ) b a f x x a 瑕积分 瑕点为 收敛的充要条件是 证 ( ) ( )d , ( , ), ( )d b b u a F u f x x u a b f x x = 设 则 lim ( ) . u a F u 收敛的充要条件是 → + 存在 由函数收敛的 1 2 1 2 + − u u a a F u F u , ( , ) ( ) ( ) , ， 1 2 任给 + 0, 0, , ( , ) 存在 当 u u a a 时， 柯西准则，此等价于 0, 0
I" (x)dx-I" f(x)dx -1" (x)dxl<8.即性质1设函数f 与f,的瑕点同为x=a,k,k,告[ f,(x)dx 和[ f,(x)dx都收敛,则为任意常数，若(k,f,(x)+ k,f;(x)dx也收敛,且['(kf(x)+k,f,(x)dx= k ' f(x)dx + k, J, f,(x)dx.性质2 设函数f的瑕点x=a,若ce(a,b),则[, f(x)dx与[. f(x)dx同时收敛或同时发散,且前页后页返回
前页 后页 返回 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d . b b u u u u f x x f x x f x x − = 即 性质1 1 2 1 2 设函数 f f x a k k 与 的瑕点同为 = , , 1 1 2 2 ( ( ) ( ))d , b a k f x k f x x + 也收敛 且 1 2 , ( )d ( )d , b b a a f x x f x x 为任意常数 若 和 都收敛 则 1 1 2 2 ( ( ) ( ))d b a k f x k f x x + 1 1 2 2 ( )d ( )d . b b a a = + k f x x k f x x 性质2 设函数 f x a c a b 的瑕点 = , ( , ), 若 则 ( )d ( )d , b c a a f x x f x x 与 同时收敛或同时发散 且
I' (x)dx=1' f(x)dx+ ' f(x)dx性质3 设函数 f的瑕点为x=a,f在(a,bl的任一闭区间[u,b] (u>a)上可积,则 ["f(x)|dx 收敛时,[' (x)dx ≤ 'f(x)]dr.[' f(x)dx 也收敛,且定理11.8（非负函数瑕积分的判别法）若定义在(a,bl上的非负函数f(x),在任意闭区间f(x)dx收敛的充要条件[u,b] (u>a)上可积,则后页返回前页
前页 后页 返回 ( )d ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x = + 性质3 设函数 f x a f a b 的瑕点为 = , ( , ] 在 的任一 , ( ) , ( ) d , b a u b u a f x x 闭区间 [ ] 上可积 则 收敛时 ( )d , ( )d ( ) d . b b b a a a f x x f x x f x x 也收敛 且 定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法) 若定义在( , ] ( ), a b f x 上的非负函数 在任意闭区间 [ , ] ( ) , ( )d b a u b u a f x x 上可积 则 收敛的充要条件
r' f(x)dx<M.是:存在 M,对任意ue(a,bl,定理11.9（比较法则）设定义在（a,bl上的两个非负函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,blc(a,bl上都可积,且满足f(x)≤g(x), xe(a, bl则当[g(x)dx 收敛时,[ f(x)dx 必定收敛; f(x)dx发散时, g(x)dx必定发散后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ], ( )d . b u M u a b f x x M 是 :存在 ，对任意 定理11.9 (比较法则) 设定义在( , ] , a b f g 上的两个非负函数 与 瑕点同 为 x a u b a b = , [ , ] ( , ] 在任何 上都可积,且满足 f x g x x a b ( ) ( ), ( , ]. ( )d , ( )d ; b b a a g x x f x x 则当 收敛时 必定收敛 ( )d , ( )d . b b a a f x x g x x 发散时 必定发散
推论l 若非负函数f 和g在任何[u,b](a<u<b)f(x)上可积,且 lim=c,则x-a g(x)(i) 0<c<+ 时,「’ f(x)dx 与[’g(x)dx 收敛性相同;(i) c=0时,「 g(x)dx 收敛可推得[f(x)dx收敛;(ii) c= +oo 时,[, f(x)dx 发散可推得g(x)dx发散后页返回前页
前页 后页 返回 推论1 若非负函数 f g u b a u b 和 在任何[ , ] ( ) ( ) ( ) 上可积,且 lim c ,则 g x f x x a = → + (i) 0 ( )d ( )d ; b b a a + c f x x g x x 时， 与 收敛性相同 (ii) 0 ( )d ( )d ; b b a a c g x x f x x = 时， 收敛可推得 收敛 (iii) ( )d ( )d . b b a a c f x x g x x = +时， 发散可推得 发散
设非负函数f定义在(a,bl上,a为瑕点,且推论2在任何[u,blc(a,bl上可积.则有,0<p<1时,[f(x)dx 收敛;(i) 当 f(x)<(x-a)p1-ay p≥1时,1 (x)dx 发散,(ii)当f(x)≥(x-后页返回前页
前页 后页 返回 在任何[ , ] ( , ] u b a b 上可积.则有 1 (i) ( ) ,0 1 , ( )d ( ) b p a f x p f x x x a − 当 时 收敛; 1 (ii) ( ) , 1 , ( )d . ( ) b p a f x p f x x x a − 当 时 发散 推论2 设非负函数 f a b a 定义在 ( , ] , , 上 为瑕点 且
推论3设非负函数f 定义于（a,bl,a为瑕点,且在任何[u,blc(a,bl上可积. 若 lim(x-a)’ f(x)=a,则X(i) 当0<p<1,0 ≤ < +00 时, f(x)dx 收敛;(ii) 当 p≥1,0<a≤ +0 时, / f(x)dx 发散利用 x～sinx～tanx～arcsinx~arctanx~In(1+x)~e*-1 (x-→0),可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性前页后页返回
前页 后页 返回 推论3 设非负函数 f a b a 定义于 ( , ] , , 为瑕点 且在任 [ , ] ( , ] lim ( ) ( ) , p x a u b a b x a f x → + 何 − = 上可积.若 则 (i) 0 1,0 ( )d b a + p f x x 当 时， 收敛; (ii) 1,0 ( )d . b a p f x x + 当 时， 发散 利用 x x x x x ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. ~ ln(1 ) ~ e 1 ( 0), x + − → x x
sinxdx的收敛性例1判别瑕积分/x3-1 lnx解瑕点为x=1sinxsinx 1/x3 -1 Inx(x -1) /3(x2 +x+1) /3 In(1+x-1)sinxsinl由于±0 (x→1),而1/33(x2 +x+1)111(x-1) /31n(1 +x-1) (x-1) 3(x-1) "(x-1) 4/3后页返回前页
前页 后页 返回 例1 2 1 3 3 sin d . 1 ln x x x x − 判别瑕积分 的收敛性 解 瑕点为 x = 1, 1 3 2 1 3 3 3 sin 1 sin . 1 ln ( 1) ( 1) ln(1 1) x x x x x x x x = − − + + + − 由于 2 1 3 3 sin sin1 0 ( 1), ( 1) 3 x x x x → → + + 而 1 3 1 3 4 3 1 1 1 ~ , ( 1) ln(1 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x = − + − − − −
dxsinx心发散知因此由dx发散.(x-1)4/3Jx3-1lnxInx例2判别瑕积分dx的收敛性Vx解 x=0是瑕点，-lnx≥0(x(0,1).由于Inxlimx3/4limx/4Inx =0,Vxx→0+x0Inxilnxdx收敛，即dx收敛因此由推论3知Ix?SVx后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 1 1 4 3 3 3 d sin d . ( 1) 1ln x x x x − x x − 因此由 发散知 发散 例2 1 0 ln d . x x x 判别瑕积分 的收敛性 解 x x x = − 0 ln 0 ( (0, 1]). 是瑕点, 由于 3 / 4 1 4 0 0 ln lim lim ln 0, x x x x x x x → → + + = − = 1 1 0 0 ln ln 3 d d . x x x x x x 因此由推论 知 收 即 敛, 收敛