* S7 方程的近似解在本节中，我们主要讨论方程f(x)=0 的数值解(近似解）.求方程解的方法主要有两种：解析法与数值法.一般来说，解析法是优先考虑的，其原因是所得的解是精确的.问题在于不是所有的方程都能用解析法的.法国数学家伽罗瓦（Galois）在19世纪就证明了形如a,x" +an-}x"- +...+a, =0 (a, +0)后页返回前页
前页 后页 返回 *§7 方程的近似解 在本节中，我们主要讨论方程 f (x) = 0 的数值解 1 1 0 0 0 ( 0) n n n n a x a x a a − + + + = − 世纪就证明了形如 能用解析法的. 法国数学家伽罗瓦（Galois）在 19 是所得的解是精确的. 问题在于不是所有的方程都 数值法. 一般来说，解析法是优先考虑的，其原因 (近似解). 求方程解的方法主要有两种：解析法与 返回
的代数方程，当n≥5时一般不存在求解公式因此对于一般的方程，我们必须寻求其它的求解方法，下面介绍一种数值解法一一牛顿切线法.数值解法的详细研究，将由专门课程“数值分析”盛算方法”去完成，这里所要考虑的函数满足(i)在[a,bl上二阶可导;(ii) f'(x): f"(x)±0 , f(a) f(b)<0后页返回前页
前页 后页 返回 的代数方程，当 n 5 时一般不存在求解公式 . 因此对于一般的方程, 我们必须寻求其它的求解 (i) [ , ] 在 上二阶可导； a b (ii) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0. f x f x f a f b 这里所要考虑的函数满足: “计算方法”去完成 . 值解法的详细研究，将由专门课程 “数值分析” 或 方法, 下面介绍一种数值解法——牛顿切线法. 数
基本思想是：构造一收敛点列(x,,使得=limx,n8恰为f(x)的零点,故当n充分大时,x，可以近似地替代5.因为 f(x)±0，f'(x)在[a,b]上连续,所以m= minlf'(x)> 0xe[a,b]下面分四种情形进行讨论1° 设 f'(x)0, 故有 f(a)>0, f(b)<0.此时 f(x)在(a ,b)内有零点5,并且是唯一的后页返回前页
前页 后页 返回 替代 . 因为 ， 在 上连续,所以 f x f x a b ( ) 0 ( ) [ , ] [ , ] min ( ) 0 x a b m f x = 下面分四种情形进行讨论 . 1 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0. 设 故有 f x f x f a f b ( ) , n 恰为 的零点 故当 充分大时, 可以近似地 f x n x : { }, lim n n n x x → 基本思想是 构造一收敛点列 使得 = 此时 在 内有零点 并且 f x a b ( ) ( , ) , 是唯一的
因 f"(x)>0,所以 f(x)为[a,bl上的严格凸函数故8(1)f(x)> f(a)+ f'(a)(x-a), xe(a,bl.设x,=a,y=f(x)在点(a,f(a)的切线与x轴的Z交点的横坐标则为f(a)f(x,)=x, -x=a-f'(x,)f'(a)o1axxx因切线在曲线的下方,故x,E(xo,5)，且由(1)式可前页后页返回
前页 后页 返回 f x f a f a x a x a b ( ) ( ) ( )( ), ( , ]. (1) + − 0 设 在点 的切线与 轴的 x a y f x a f a x = = , ( ) ( , ( )) 0 1 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) f a f x x a x f a f x = − = − 因 所以 为 上的严格凸函数, f x f x a b ( ) 0, ( ) [ , ] 交点的横坐标则为 1 0 因切线在曲线的下方,故 x x ( , ), 且由(1)式可 故 a 1 x b x y O • • • • • 2 x
知 f (xi)>0.于是只要用[xi,bl 代替[a, bl,重复上述步骤，即设曲线的切线与x轴交点的横坐标为f(x,)x, E(xi,b),X2=Xf'(x)f(x-1)一般地x,=xn-1n = 1, 2, ...f'(xn-1)易知x,递增有上界b，故limx,=存在.由上n-00式得_f()5=5f'(5)后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 1 ( ) , 1, 2, . ( ) n n n n f x x x n f x − − − = − = 一般地 ( ) , ( ) f f = − 1 2 1 2 1 1 ( ) , ( , ). ( ) f x x x x x b f x = − 易知{ xn }递增有上界 b，故 lim n 存在. 由上 n x → = 知 f (x1 )> 0. 于是只要用[ x1 , b] 代替 [a, b], 重复上 述步骤, 即设曲线的切线与 x 轴交点的横坐标为 式得
推得 f()=0.最后来估计x，-引.由中值定理f(x,)= f(x,)-f()=f'(n)(x, -5), x, <n<5因而[f(x,)(x)x, -5/-<f'(n)m其它三种情形可以类似进行讨论，在此仅以图来示意.后页返回前页
前页 后页 返回 . n 最后来估计 由中值定理 x − ( ) ( ) ( ) ( )( ), , n n n n f x f x f f x x = − = − ( ) ( ) . ( ) n n n f x f x x f m − = 其它三种情形可以类似进行讨论，在此仅以图来 推得 f ( ) 0. = 因而 示意
2° f'(x)>0, f"(x)> 0,且 f(a) 0.ab xx, x3° f'(x)>0, f"(x) 0.xxbxxXax4° f'(x) 0, f(b)<0.后页返回前页
前页 后页 返回 3 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0. f x f x f a f b 且 1 x 2 x a b • • x • • • a 1 x b x2 • • • • • x 4 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0. f x f x f a f b 且 a 1 x b 2 x • • • • x • 2 ( ) 0, ( ) 0, f x f x 且 f a f b ( ) 0, ( ) 0.
注意：这四种情形本质上是相同的.在解题时，应区分不同情形，选取点x.是a还是b.而误差公式[f(x,)<x,-5m对各种情形都是有效的例 用牛顿切线法求方程x3-2x2-4x-7=0的近似解，使误差不超过0.01解设f(x)=x2-2x2-4x-7,则后页返回前页
前页 后页 返回 注意: 这四种情形本质上是相同的. 在解题时, 应 ( ) n n f x x m − 对各种情形都是有效的. 的近似解，使误差不超过0.01. 3 2 例 用牛顿切线法求方程 x x x − − − = 2 4 7 0 3 2 解 设 则 f x x x x ( ) 2 4 7, = − − − 式 0 区分不同情形，选取点 x 是 a 还是 b. 而误差公
f'(x) = 3x - 4x - 4 =(3x + 2)(x - 2),f"(x) = 6x - 4.易见x=-2为极大值点，x=2为极小值点，并且八(一)0,因而存在后页返回前页
前页 后页 返回 2 f x x x x x ( ) 3 4 4 (3 2)( 2), = − − = + − f x x ( ) 6 4. = − 2 2 3 易见 为极大值点, 为极小值点,并且 x x = − = 2 0. 3 f − 因为 所以不难验证 有且只有一个根 f x( ) 0 . = lim ( ) , x f x →− = − lim ( ) , x f x →+ = + 注意到 因而存在 f f (3) 10 0, (4) 9 0, = − =
(3, 4), f()=0. 由于在[3, 4]上有f'(x)>0, f"(x)> 0,因此属于情形2°.B10从点B(4,9)作切线a14X02-2X交x轴于(x,0),则-10x =4_ (4)-20f'(4)f(x)%~ 3.68, [x,-引≤=428m后页返回前页
前页 后页 返回 = (3, 4), ( ) 0. [3, 4] f 由于在 上有 f x f x ( ) 0, ( ) 0, 从点 作切线 B(4, 9) 1 交 轴于( 则 x x , 0), 因此属于情形 2 . 1 (4) 4 (4) f x f = − 1 1 ( ) 9 4 3.68, . 28 f x x m = − − 4 x1 -2 O 2 x -20 -10 10 y • • B