S2 收敛数列的性质返回前页后页
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一、惟一性定理2.2 若(a） 收敛,则它只有一个极限二、有界性定理2.3 若数列 {a收敛,则(a,为有界数列,即存在 M>0,使得|a,≤M,n=1, 2,.….注意：有界数列不一定收敛前页后页返回
前页 后页 返回 一、惟一性 定理 2.2 若 { } an 收敛, 则它只有一个极限. 二、有界性 即存在 0, | | , 1, 2, . M a M n = 使得 n 定理 2.3 若数列 {an }收敛, 则 {an } 为有界数列， 注意：有界数列不一定收敛
三、保号性若 lim a,=a>0(N时,有a,>a(或anb(N时,有a,>b(a,<b)返回前页后页
前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 lim 0( 0), (0, ) n n a a a a → 若 = 则对任何 ( ). n 或a a ( ( ,0)), , n 或a a N a a 存在正数 使得当n>N时,有 推论 1 lim ( ), n n a a b b → 若 = 存在正数N,使得当 ( ). n N a b a b 时 n n ,有
推论 1 若 lim a,=a>b(N时,有a,>b(a,N时,有aN,时,有a,≤b,,则 lima,≤limb,n-→0n→后页返回前页
前页 后页 返回 推论 1 lim ( ), n n a a b b → 若 = 存在正数N,使得当 ( ). n N a b a b 时 n n ,有 推论 2 lim , lim , , n n n n a a b b a b → → 设 = = 则存在正 数N,使得当 . n N a b 时 n n ,有 四、保不等式性 定理 2.5 { }, { } n n 设 a b 均为收敛数列, 如果存在正 0 0 , , , 数N n N a b 当 时 有 n n lim lim . n n n n a b → → 则
注若将定理2.5中的条件a,≤b,改为a,00n0这就是说，良即使条件是严格不等式，结论却不一定是严格不等式2但 lim-= lim=0例如，虽然福n-nn-on前页后页返回
前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 , n n a b n n a b 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 lim lim . n n n n a b → → 例如 , 虽然 1 2 , n n 但 1 2 lim lim 0 . n n → → n n = =
例1 设 a, ≥0, lim a, =a, 求证 lim a, = Van8证 由于a,≥0，根据极限的保不等式性,有a≥0.对于任意 ε>0,N,当 n>N 时,Ia,-al0 时, 有aIVa,-val=la,-ala81<VaYa, +Va故limyan=Va得证后页返回前页
前页 后页 返回 例1 0, lim , n n n a a a → 设 = lim . n n a a → 求证 = 证 0, n 由于a 根据极限的保不等式性, 有 a 0 . (1) 0 , a = 时 有 | 0 | ; n n a a − = (2) 0 , a 时 有 | | | | | | . n n n n a a a a a a a a a a − − − = + lim . n n a a → 故 = 得证 对于任意 0, , , | | . N n N a a n − 当 时 于 是可得:
五、迫敛性（夹逼原理定理 2.6 设数列(a,,(b,都以 a为极限,数列(c,)满足：存在N。,当 n>N,时,有 a,≤c,≤bn，则(cn} 收敛,且 limc,=a.n-→o0前页后页返回
前页 后页 返回 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 { },{ } an bn 都以 a 为极限, { }n 数列 c {c } lim c a . n n n = → 收敛，且 满足: 存在 , , , 0 0 n n bn N 当 n N 时 有 a c 则
例2求数列"n}的极限1lim0例3求证：8n-Vn!前页后页返回
前页 后页 返回 例2 求数列 { } n n 的极限. 例3 求证： 1 lim 0. ! n n n → =
六、四则运算法则定理2.7若(a,与(b,为收敛数列则(a,+bnl,(an-bn),(a·b,} 也都是收敛数列,且有(1) lim (a, ± b,)= lim a, ± lim bh;n8n-→80nα(2) lim(an·b,)= lim an· lim bh,n当b，为常数c时，lim(a, ±c) = lim a, ±c; lim cb, =c lim bh;n8n-→80后页返回前页
前页 后页 返回 六、四则运算法则 定理2.7 若{an }与{bn }为收敛数列，{ }, 则 an +bn (1) lim lim lim ; ( n n n n ) n n n a b a b → → → = (2) lim ( ) lim lim , n n n n n n n a b a b → → → = { an − bn }, { an bn } 也都是收敛数列, 且有 lim lim ;n n n n cb c b → → lim lim ; ( ) = n n n n a c a c → → = 当 bn 为常数 c 时
a(3) 若 b, ±0, lim b, ± 0 , 则也收敛，且bnn0anlimlim anlim bnbn-→0n→00n-0Y前页后页返回
前页 后页 返回 (3) 0, lim 0 , → n n 若 bn b 则 也收敛，且 n n b a lim lim lim . n n n n n n n a b b a → → → =