S6 重积分的应用应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之问的引力等。曲面的面积iii重心转动惯量引力四、前页后页返回
前页 后页 返回 §6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物 体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重 心、转动惯量和物体之间的引力等. 一． 曲面的面积 二． 重心 三． 转动惯量 四． 引力 返回
一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域，f(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程z= f(x,y),(x,y)eD所表示的曲面S的面积(1)对区域D作分割T，把D分成n个小区域α;(i=1,2,,n).这个分割相应地将曲面S也分成n个小曲面片 S,(i =1,2,,n),(2)在每个 S,上任取一点 M;，作曲面在这一点的切后页返回前页
前页 后页 返回 一、曲面的面积 设D 为可求面积的平面有界区域, f x y ( , ) 在 D 上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 z f x y x y D = ( , ) , ( , ) 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 i ( 1,2, , ) i n = . 这个分割相应地将曲面S 也分成 n 个 小曲面片 ( 1,2, , ). S i n i = Si Mi (2) 在每个 上任取一点 , 作曲面在这一点的切
平面 元;,并在元,上取出一小块A,使得 A, 与 S,在xy平面上的投影都是；（见图21-38).在点M,附近用切平面A,代替小1zS: z=f(x,y)曲面片S,，从而当TMi充分小时,有S.OAS-AS, ~ZA,xDai=1i-1这里 AS,△S, △A,分别图21-38后页返回前页
前页 后页 返回 近用切平面 Ai 代替小 曲面片 , Si 从而当 T 充分小时, 有 1 1 , n n i i i i S S A = = = i 平面 , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 Si 在 , , 这里 S S A i i 分别 图 21 38 − x y z S z f x y : ( , ) = D O Ai i Mi Si 平面上的投影都是 i xy (见图 21-38). 在点 Mi 附
表示 S,S,A,的面积n4A 的极限(若存在)(3)当T→0 时,定义和式i=1作为 S的面积，现在按照上述曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式，为此首先计算A,的面积.由于切平面元;的法向量就是曲面S在点 M,(Si,nS)处的法向量 n,记它与z轴的夹角为i，则后页返回前页
前页 后页 返回 1 n i i A = (3) 当 T → 0 时, 定义和式 的极限(若存在) 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. Ai 为此首先计算 的面积. 由于切平面 πi 的法向量就 是曲面S 在点 ( , , ) Mi i i i 处的法向量 n, 记它与 z 作为 S 的面积. , , 的面积. 表示 S S Ai i 轴的夹角为 , i 则
1[0(m,) 100% ++(5, )+;(6,n)因为 A, 在xy平面上的投影为;,所以Aot = J1+ F(5, n)+ f;(5, n) A0,A, COSY注意到和数ZAA, =-/1+ f(5i,n;)+ f,(5i,n;)A0;i=1i=1是连续函数 /1+ f(x,J)+ f,(x,J)在有界闭域D后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 1 | cos( , ) | | cos | . 1 ( , ) ( , ) i x i i y i i n z f f = = + + , 因为 A xy i i 在 平面上的投影为 所以 2 2 1 ( , ) ( , ) . cos i i x i i y i i i i A f f = = + + 注意到和数 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) n n i x i i y i i i i i A f f = = = + + 是连续函数 2 2 1 ( , ) ( , ) x y + + f x y f x y 在有界闭域D
上的积分和,于是当T→0 时，上式左边趋于△S;而右边趋于JJ /1+ f(x,y)+ f;(x,y) dxdy.这就得D到曲面S的面积计算公式：AS = [/ /1+ f'(x,y)+ f,;(x, y) dxdy,(1)或另一形式：1AS =((2)dxdyIcos(n,z) I前页后页返回
前页 后页 返回 上的积分和, 于是当 T → 0 时, 上式左边趋于 S; 而右边趋于 2 2 1 ( , ) ( , ) d d . x y D + + f x y f x y x y 这就得 2 2 1 ( , ) ( , ) d d , (1) x y D = + + S f x y f x y x y 1 d d . (2) | cos( , ) | D S x y n z = 或另一形式: 到曲面 S 的面积计算公式:
例1求圆锥 =x2+2在圆柱体 x2+2≤x内那一部分的面积解据曲面面积公式AS = [J /1+z, + z,dxdy.D+y?<曲面方程I其中D是x2+y≤x,即x-2xy是z= /x + y°.故 zx =/x*+JVx+y后页返回前页
前页 后页 返回 解 据曲面面积公式, = + + 2 2 1 d d , x y D S z z x y 其中D 是 2 2 2 2 1 1 , , 2 4 x y x x y + − + 即 曲面方程 2 2 z x y = + 2 2 例1 求圆锥 在圆柱体 x y x + 内 那一部分的面积. 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = = + + 2 2 是 z x y = + . 故
/1+z+z, = /2,AS =JJ V2dxdy = V2AD=2元4D*参数曲面的面积公式若空间曲面S由参数方程(3)x = x(u,v), y= y(u,v),z =z(u,v),(u,v) eD表示，其中x(u,v),(u,v),z(u,v)在D上具有连续的一阶偏导数，且2a(y,z))*+(a(z,x)a(x,y)±0,++(a(u,v)a(u,v)a(u,v))后页返回前页
前页 后页 返回 2 2d d 2 π. 4 D = = = S x y D x x u v y y u v z z u v u v D = = = ( , ), ( , ), ( , ),( , ) (3) 表示，其中 x u v y u v z u v ( , ), ( , ), ( , ) 在D上具有连续的 一阶偏导数,且 2 2 1 2, x y + + = z z 参数曲面的面积公式 若空间曲面 S由参数方程 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) y z z x x y u v u v u v + +
则曲面S在点（x,,z）的法线方向为a(y,z) (z,x) a(x, y)n=(u,v)'a(u,v)'a(u,v)记(x,y)(0,2)0(z,x)W (u,v) :++(a(u,v)(a(u,v)a(u,v)= /(x + y +z)(x, +y, +z,)-(xux, + yuy, +zuz,)n与z轴夹角的余弦则为后页返回前页
前页 后页 返回 则曲面S在点 ( , , ) x y z 的法线方向为 ( , ) ( , ) ( , ) , , . ( , ) ( , ) ( , ) y z z x x y n u v u v u v = 记 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y z x y z W u v u v u v u v = + + 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) , u u u v v v u v u v u v = + + + + − + + x y z x y z x x y y z z n 与 z 轴夹角的余弦则为
a(x,y)(W(u(u,v))cos(n,z)a(u,v)1a(x,y)(4)a(u,V) EG-F2其中E=x,+yi+zaF =x,x, +yuy,+zuz,,G=x, +y,+z.o(x,y)当≠0 时,对公式(2)作变换a(u,v)前页后页返回
前页 后页 返回 其中 2 ( , ) 1 , (4) ( , ) x y u v EG F = − ( ) ( , ) 1 cos( , ) ( , ) ( , ) x y n z W u v u v − = 2 2 2 , E x y z = + + u u u , F x x y y z z = + + u v u v u v 2 2 2 . G x y z = + + v v v ( , ) 0 ( , ) x y u v 当 时, 对公式(2)作变换: