S3函数极限存在的条件伐(x)在这一节中，我们仍以x→xo表，介绍函数极限存在的条件.对于其他类型的极限，也有类似的结论一、归结原则二、单调有界定理三、柯西收敛准则前页返回后页
前页 后页 返回 在这一节中,我们仍以 为代 0 lim ( ) x x f x → 一、归结原则 §3 函数极限存在的条件 三、柯西收敛准则 二、单调有界定理 他类型的极限,也有类似的结论. 表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其 返回
一、归结原则定理3.8设f在U（xoS)上有定义.limf(x)存在的充要条件是：对于任何含于U（xoS)且以x.为极限的数列x),极限 lim f(x,）都存在，并且相等n-8o前页后页返回
前页 后页 返回 一、归结原则 定理 3.8 的充要条件是: 对于任何含于 0 U x( , ) { }, n x lim ( ) n n f x → 极限 都存在, 并且相等. 0 设 f U x 在 ( , ) 上有定义 lim ( ) 存在 0 f x x→x 且以 0 x 为 极限的数列
归结原则的应用：1、若存在(x,), (y,) cU(x), lim x, =xo, lim yn =xo,但是 limf(x,)=A±B=limf(y,),n>o0则 lim f(x)不存在x-Xo2、若存在(x,)cU(x), limx,=Xo,但是,lim f(x,)不存在,则 lim f(x)不存在n-00x-→Xo后页返回前页
前页 后页 返回 但是 lim ( ) lim ( ), n n n n f x A B f y → → = = lim ( ) 0 f x x→x 则 不存在. 归结原则的应用： 1、若存在 0 0 { },{ } ( ), lim , n n n n x y U x x x → = 0 lim , n n y x → = lim ( ) , n n f x → 不存在 lim ( ) 0 f x x→x 则 不存在. 2、若存在 { } ( ), lim , x U x x x n n = 0 0 n→ 但是
1例1 证明limsin-不存在。x-0x500.51-11的图象在x=0附近作无比从几何上看，y=sinx密集的等幅振荡，当然不会趋于一个固定的值后页返回前页
前页 后页 返回 例1 0 1 lim sin x→ x 证明 不存在. 0 1 lim sin x→ x 证明 密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. -1 -0.5 0.5 1 1 -1 x y x y 1 从几何上看， = sin 的图象在 x = 0 附近作无比
1例1 证明lim sin --不存在。x-0x11>0,有解取x，→0,yn2元-22n元2n元 +1lim sin=0±1=lim ssinXYnn→00n-→001故lim sin不存在，x-0返回前页后页
前页 后页 返回 解 1 1 0, 0 , 2 π π 2 π 2 n n x y n n = → = → + 取 有 , 1 0 1 lim sin 1 lim sin n n n n x y → → = = 故 x x 1 limsin →0 不存在. 例1 0 1 lim sin x→ x 证明 不存在. 0 1 lim sin x→ x 证明
x→x,时的归结原则：定理3.8/设f(x）在xo的某空心右邻域U(x）有定义,则任给 (xcU(x,), x,→xolimf(x)=A ←必有 lim f(x,)= A.x→xtn8返回前页后页
前页 后页 返回 义, 则 定理 3.8/ 0 设 f (x) 在 x 的某空心右邻域 ( ) U x0 + 有定 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 0 { } ( ), , lim ( ) . n n n n x U x x x f x A + → → = 任给 必有 时的归结原则： + → 0 x x
x→x，时的归结原则：定理3.9设f(x)在x,的某空心右邻域U(x)内有定义.那么 lim f(x)=A 的充要条件是x-x对任何以xo为极限的递减数列(x)cU(x),有lim f(x,)= An->00返回前页后页
前页 后页 返回 时的归结原则： + → 0 x x 内有定义. f x A x x = → + lim ( ) 0 那么 的充要条件是: 定理3.9 0 设 f (x)在 x 的某空心右邻域 0 U x( ) + lim ( ) . n n f x A → 有 = 0 x 为极限的递减数列 0 0 { } ( ), n x U x 对任何以 +
二、单调有界定理定理3.10设f为定义在U°（x）上的单调有界函数则右极限limf(x)存在x-→xo前页后页返回
前页 后页 返回 二、单调有界定理 定理 3.10 设 f 为定义在 ( ) U x0 + 上的单调有界函数, 则右极限 lim ( ) . 0 f x 存在 x x → +
关于单调函数的归结原则设 f(x)在U°(xo,n)上单调,则 lim f(x)x-→xo存在的充要条件是存在一个数列(x,) cU(xon), limx, =xo,n->8y使limf(x）存在A+6n→00Ay= f(x)A-6--一→-1e0XoXNXXN返回前页后页链接
前页 后页 返回 关于单调函数的归结原则： ( ) ( , ) lim ( ) 0 f x U x0 f x x x 设 在 + 上单调，则 → + 存在的充要条件是存在一个数列 0, 0 { } ( ) , lim , n n n x U x x x + → = 使 lim ( ) 存在 . n n f x → 链接 ) y = f (x) x Nx N1 x x 0 O x y A+ A− A
三、柯西收敛准则定理3.11 设f(x)在 Uxo,S)上有定义limf(x)存在的充要条件是：任给ε>0,存在正X-→Xo数S（<S),使得对任何x,x"eUxo,S)有Lf(x)-f(x)ks返回前页后页
前页 后页 返回 三、柯西收敛准则 | ( ) ( ) | . f x f x − 0 lim ( ) x x f x → 存在的充要条件是: 任 给 0, 存在正 定理3.11 设 f (x) 在 U x( , ) 0 上有定义. 数 ( ), 0 使得对任何 x x U x , ( , ) 有