S1 二重积分概念二重积分是定积分在平面上的推广，不同之处在于：定积分定义在区间上，区间的长度容易计算，而二重积分定义在平面区域上，其面积的计算要复杂得多。一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质前页后页返回
前页 后页 返回 §1 二重积分概念 二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质 返回
一、平面图形的面积平面有界图形：所谓一个平面图形P是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形R，使得PcR。yV0x图21-1后页返回前页
前页 后页 返回 一、平面图形的面积 平面有界图形: 所谓一个平面图形P 是有界 的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界 点集, 即存在一矩形 R , 使得 P R . O y x P 图21 1 −
ojx图 21-1(i) △,上的点都是P的内点;(ii) △,上的点都是 P的外点,即 △,nP=;(ii)△;上含有 P的边界点.后页返回前页
前页 后页 返回 (i) i 上的点都是 P 的内点; i ; (ii) 上的点都是 P 的外点, 即 = i P (iii) i 上含有 P 的边界点. O y x P 图21 1 −
将所有属于第(i)类小矩形（图21-1中紫色部分）的面1积加起来，记这个和数为11Sp(T), 则有 Sp(T)≤△,(这x0图21-1里△表示包含P的那个矩形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的面积加起来（图21-1中未着色部分），记这个和数为Sp(T),则有 Sp(T)≤Sp(T)后页返回前页
前页 后页 返回 将所有属于第(i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来,记这个和数为 里 R 表示包含P 的那个矩 形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中未着色部分),记这个和数为 ( ), S T P ( ) ( ). P P 则有 s T S T O y x P 图21 1 − ( ), P s T 则有 ( ) P R s T (这
内面积、外面积：记Ip= sup(sp(T), Ip = inf(S,(T)),TT显然有:0≤Lp≤Ip.(1)通常称I,为P的内面积，Ip为P的外面积定义1 若平面图形P满足I=Ip，则称P为可求面积的图形,并把共同值 I,=Ip=Ip作为 P的面积后页返回前页
前页 后页 返回 sup{ ( )}, inf{ ( )}, P P P P T T I s T I S T = = 显然有： 0 . (1) I I P P P 通常称 I 为 P 的内面积, I P 为 P 的外面积. P 定义1 若平面图形 P 满足 I = I P , 则称 P 为可求面 积的图形,并把共同值 P P P I I I = = 作为 P 的面积. 内面积、外面积：记
定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，总存在直线网T,使得(2)Sp(T) -Sp(T)0,由 Ip及 ip的定义知道,分别返回前页后页
前页 后页 返回 定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 ( ) ( ) . (2) S T s T P P − 证 必要性 设有界图形 P 的面积为 P I . 由定义1, 有 P . P P I I I = = 0 , P 由 I 及 I P 的定义知道, 分别
存在直线网T 与 T,，使得8s,(T)>1,-g,S(T,)1,-%, S,(T)<1,+号从而对直线网 T有 Sp(T)-Sp(T)<8.前页后页返回
前页 后页 返回 T1 , 存在直线网 与 T2 使得 1 2 ( ) , ( ) . (3) 2 2 P P P P s T I S T I − + 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得 1 2 ( ) ( ), ( ) ( ). P P P P s T s T S T S T ( ) ( ) 2 2 P P P P s T I , S T I . − + 从而对直线网 T 有 ( ) ( ) . S T s T P P −
充分性设对任给的ε>0，存在某直线网T,使得Sp(T)- Sp(T)< 8.但 Sp(T)≤Ip≤Ip≤S,(T), 所以Ip-Ip≤ S,(T)-Sp(T)<8.由 ε 的任意性,得Ip=Ip，因而平面图形P可求面积.后页返回前页
前页 后页 返回 充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得 ( ) ( ) . S T s T P P − 但 ( ) ( ), P P P P s T I I S T 所以 P ( ) ( ) . P P P I I S T s T − − P , P 由 的任意性, 得 I I = 因而平面图形 P 可求面 积
推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积 Ip=0,即对任给的 ε>0,存在直线网 T,使得Sp(T)0,平面图形P能被有限个面积总和小于ε的小矩形所覆盖后页返回前页
前页 后页 返回 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P = 0 , 即对任给的 0, 存在直线网 T, 使得 ( ) , S T P 或对任给的 0, 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖
定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零证由定理21.1,P可求面积的充要条件是：对任给的 ε>0,存在直线网T,使得S,(T)-,(T)<ε.由于Sk(T) = Sp(T)- Sp(T),所以也有Sk(T)<ε.由上述推论,P的边界K的面积为零.后页返回前页
前页 后页 返回 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给 0, ( ) ( ) . S T s T P P 的 存在直线网T, 使得 − 由于 ( ) ( ) ( ), S T S T s T K P P = − 所以也有 ( ) . S T K 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零