《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关

S3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时，牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之问的联系；本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之问的联系。一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性前页后页返回

前页 后页 返回 §3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性 在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系. 一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 返回

一、格林公式设区域D的边界L是由L一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走图21-12时，区域D总在它的左边如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为L。后页返回前页

前页 后页 返回 一、格林公式 设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成.边界曲线的正方向 规定为:当人沿边界行走 时,区域D 总在它的左边, 如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 图 21 12 − L D L . 为负方向 − ,记为

定理21. 11若函数 P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上有连续的一阶偏导数，则有(00-0%)ddo = Φ, Pdx + Qdy,(1)axayD这里L为区域D的边界曲线，并取正方向公式(1)称为格林公式证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形作出证明：(i)若D既是x型又是y型区域（图21-13),则可表为后页返回前页

前页 后页 返回 定理21.11 若函数 P x y Q x y ( , ), ( , ) 在闭区域D上 有连续的一阶偏导数, 则有 d d d , L D Q P P x Q y x y      − = +         (1) 这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式(1)称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 (i) 若 D既是 x型又是 y型区域(图21-13), 则可表为 作出证明:

P(x)≤y≤P(x), a≤x≤by又可表为EβBW(p)yi(y)<x≤y,(y),α≤y≤β.92(x)DA这里 =(x)和 y=2(x) 分)yαC gi(x)别为曲线 ACB和 AEB的方a0lb x程,而x=(y)和x=,(y)则图21-13分别是曲线 CAE和 CBE 的方程.于是后页返回前页

前页 后页 返回 1 2   ( ) ( ), , x y x a x b     又可表为 1 2     ( ) ( ), . y x y y     1 y x =  ( ) 2 这里 和 y x =  ( ) 分 分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程. 于是 别为曲线 ACB 和 AEB 的方 1 x y = ( ) 2 程, 而 和 x y = ( ) 则 O x 1  ( ) x   A b E a B C 2  ( ) x y D 图 21-13

2() 0QFdxdyaxyi(y)axDQ(y,(y), y)dy -Q(y,(y), y)dyQ(x, y)dy - Jcar Q(x, y)dyCBECAEQ(x, y)dy + JeacQ(x, y)dyBEFA=Φ,0(x, y)dy.同理又可证得前页后页返回

前页 后页 返回 21 ( ) ( ) d d d yy D Q Q y x x x        =      2 1 Q y y y Q y y y ( ( ), )d ( ( ), )d     = −     ( , )d ( , )d CBE CAE = − Q x y y Q x y y   ( , )d ( , )d CBE EAC = + Q x y y Q x y y   ( , )d . L = Q x y y  同理又可证得

dp[%do =$, P(x, )dx.ayD将上述两个结果相加即得(0.0P)ddo = Φ, Pdx + Qdy.(axQy0L(ii)若区域D 是由一条LDD按段光滑的闭曲线围成D3L且可用几段光滑曲线将图 21-14D分成有限个既是x型后页返回前页

前页 后页 返回 d ( , )d . L D P P x y x y   − =    将上述两个结果相加即得 d d d . L D Q P P x Q y x y      − = +         (ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是x 型 图 21 14 − L3 D1 L2 L1 D3 D2

又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式，然后相加即可如图21-14所示的区域D，可将它分成三个既是x型又是y型的区域 Di,D,,D.于是apada1axayDapapapaQaQaQdgda+da+axaxayaxayayD,D3D后页返回前页

前页 后页 返回 又是 y 型的子区域(如图21-14), 则可逐块按 (i)得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是x 型又是y型的区域 1 2 3 D D D ,. 于是 d D Q P x y      −        1 2 3 ddd D D D Q P Q P Q P x y x y x y              = − + − + −                     

-$, Pdx + Qdy + Φ, Pdx + Qdy + $, Pdx + Qdy= Φ, Pdx + Qdy.门(ii)若区域D由几条闭曲线EGCDF所围成,如图21-15所示.这L,B时可适当添加线段AB,CE把区域化为(i)的情形来处图21-15理.在图21-15中添加了AB,CE 后,D 的边界则由 AB,L,,BA,AFC,CE,L,EC后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 3 d d d d d d L L L = + + + + + P x Q y P x Q y P x Q y    d d . L = + P x Q y  (iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 把区域化为(ii)的情形来处 图 21 15 − L1 D L3 L2 C A B E F G 时可适当添加线段 AB CE , , 理. 在图21-15中添加了 AB, 后, D 的边界则由 2 3 CE AB L BA AFC CE L EC , , , , ,

及CGA 构成.由(ii)知ap1%doay++J((Pdx + Qdy)+,+++7ARJBALAFCCF-($, +9,+9, )Pax+d)=, Pdx+dy.注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是x型又是y型区域的并集，例如由后页返回前页

前页 后页 返回 d D Q P x y      −          2 3 ( d d ) AB L BA AFC CE L EC CGA = + + + + + + + + P x Q y         ( ) 2 3 1 ( d d ) LLL = + + + P x Q y  d d . L = + P x Q y  注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 x 型又是 y 型区域的并集, 例如由 及 CGA 构成. 由(ii)知

7y = x sin-,x e(0,1l; y=-l;x = 0;x =1x所围成的区域便是如此注2为便于记忆，格林公式（1）也可写成下述形式aado = d, Pdx + Qdy.axay1DPQ注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算请看以下二例：后页返回前页

前页 后页 返回 3 1 y x x y x x sin , (0,1]; 1; 0; 1 x =  = − = = 所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式: d d d . L D x y P Q  P x Q y     = +   注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例: