《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第八节 反常二重积分

＊S8 反常二重积分与反常定积分相同，二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分前页后页返回

前页 后页 返回 *§8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广 到积分区域是无界的和被积函数是无界的 两种情形, 统称为反常二重积分. 一、无界区域上的二重积分 二、无界函数的二重积分 返回

一、无界区域上的二重积分定义1 设f(x,J)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线?f(x,J)在曲线所围的有界区域 E,与 D 的交集E,nD = D,(图21-42)DYE,Dy上二重可积.令0xd, =min/ /x +y2(x,y)e图21-42若存在有限极限：后页返回前页

前页 后页 返回 一、无界区域上的二重积分 定义1 设 f x y ( , ) 为定义在无界区域 D上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线  , f x y ( , ) 在曲线  所围的有界区域 E 与 D 的交集 E D D   = (图21-42) 上二重可积.令   2 2 d x y x y min ( , ) .  = +  若存在有限极限: x y 图21 42 −  O E D D

lim JJ f(x,y)do,dy-0且与 的取法无关,则称f(x,)在D上的反常二重积分收敛，并记] f(x, y)do = limf(x,y)do;(1)d,→oDDy否则称f(x,y)在D上的反常二重积分发散，或简称 [/ f(x,y)da 发散D定理21.16 设在无界区域D上f(x,y)≥0,%,Y2，前页后页返回

前页 后页 返回 lim ( , )d , d D f x y    →  且与  的取法无关, 则称 f x y ( , ) 在D 上的反常二 重积分收敛, 并记 ( , )d lim ( , )d ; (1) d D D f x y f x y     → =   否则称 f x y ( , ) 在 D 上的反常二重积分发散,或简 ( , )d D f x y  称  发散. 定理21.16 设在无界区域 D 上 f x y ( , ) 0,  1 2  , ,

"n…为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足(i) d, = inf [ Vx* + y (x,y) =) →+o(n -→);.(ii) I = sup [I f(x, y)dg < +o0,nDn其中 D,=E,ΛD,E,为n所围的有界区域.这时反常二重积分(1)必定收敛,并且[I f(x,y)do = I.D证设为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成后页返回前页

前页 后页 返回 , n  为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足   2 2 (i) inf ( , ) ( ); n n d x y x y n = +  → + →   (ii) sup ( , )d , n n D I f x y =  +   , D E D n n = n  其中 E n 为 所围的有界区域.这时反 常二重积分 (1) 必定收敛, 并且 ( , )d . D f x y I  =  证 设   为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成

的区域记为E',并记 D'=E'nD.因为 limd，=+oo,x→00因此存在 n,使得 D'c D,CD. 由于 f(x,y)≥0,所以有J f(x,y)do≤J] f(x, y)do≤1.D'Dn另一方面，因为I = sup [] f(x, y)do,1Dn故对任给的ε>0,总有 no,使得后页返回前页

前页 后页 返回 E , D E D   = → lim , n = + x 的区域记为 并记 .因为 d . D D D n 因此存在 n,使得    由于 f x y ( , ) 0,  所 以有 ( , )d ( , )d . D Dn f x y f x y I        另一方面，因为 sup ( , )d , n n D I f x y =     0, 0 故对任给的 总有 n , 使得

[ f(x,y)do >I -8.D10因而对于充分大的 D' Dm，有[] f(x,y)do >I -8.D'再由I -8<[/ f(x,y)do≤I,DJJ f(x,y)dg 存在,且等于 1.可知反常二重积分D由定理21.16的证明容易看到有以下定理：后页返回前页

前页 后页 返回 0 ( , )d . Dn f x y I    −  ( , )d . D f x y I     −  再由 ( , )d , D I f x y I    −    由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理: 0 , D D n 因而对于充分大的   有 可知反常二重积分 ( , )d D f x y   存在,且等于 I

定理21.17若在无界区域D上f(x,J)≥0,则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子区域上f(x,y)可积，且积分值有上界例1证明反常二重积分Jfe*doD收敛，其中D为第一象限部分，即D = [0, +80) ×[0, +00)证设D是以原点为圆心R为半径的圆在第一象限部分.因为e-(x+y)>0,所以二重积分后页返回前页

前页 后页 返回 定理21.17 若在无界区域 D上 f x y ( , ) 0,  则反常二 重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子 区域上 f x y ( , ) 可积，且积分值有上界. 例1 证明反常二重积分 2 2 ( ) e d x y D  − +  收敛,其中 D为第一象限部分,即 D = +  + [0, ) [0, ). 部分. 因为 2 2 ( ) e 0, − + x y  所以二重积分 证 设 DR 是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限

Te-(x+y")doDR的值随着R的增大而增大.文因Je(a+s"da=fadef"e-"rdrDR所以儿-xlimo =lim44R→>00R>00 2DR显然对D的任何有界子区域D，总存在足够大的R.后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 ( ) e d R x y D  − +  的值随着 R 的增大而增大.又因 2 2 2 2 ( ) 2 0 0 π e d d e d (1 e ), 4 R R x y r R D   r r  − + − − = = −    所以 2 2 2 ( ) lim e d lim (1 e ) . 4 4 R x y R R R D  − + −   → → = − =  显然对D 的任何有界子区域 D , 总存在足够大的R

使得 D'C Dr,于是do"Jfe-(x'+y")da≤[fe(2D'DRe-(x+y")do 收敛因此由定理21.17,反常二重积分D并且由定理21.16有元[fe-(x(2)4D由（2）式还可推出在概率论中经常用到的反常积分后页返回前页

前页 后页 返回 使得 , D DR   于是 2 2 2 2 ( ) ( ) π e d e d . 2 R x y x y D D   − + − +      因此由定理21.17, 反常二重积分 2 2 ( ) e d x y D  − +  收敛， 并且由定理21.16有 2 2 ( ) π e d . (2) 4 x y D  − + =  由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分

["e-"'da 的值.为此,考察 S。=[0,a]x[0,a]上的积分Sa山[fe(x*+"]do因为D fzaSa厂dxdD.a za xoe-*"dx]图21-43JO而 D, c S, c Dyza(图 21-43),所以前页后页返回

前页 后页 返回 2 0 e d . x  + −  的值 为此, 考察 =  [0, ] [0, ] S a a a 上的积分 2 2 ( ) e d . a x y S  − +  因为 2 2 ( ) e d a x y S  − +  − − =   2 2 0 0 e d e d a a x y x y ( ) 2 2 0 e d , a x x − =  x y 图21 43 − O a 2a D a Sa 2a D a a 2a 而 D S D   (图 21-43), 所以