S5微积分学基本定理本节将介绍微积分学基本定理，并用以证明连续函数的原函数的存在性。在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法。一、变限积分与原函数的存在性二、换元积分法与分部积分法三、泰勒公式的积分型余项前页后页返回
前页 后页 返回 §5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并 用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 返回
一、变限积分与原函数的存在性设 f 在[a,b]上可积,则 Vxe[a,b],f 在[a, x]上可积. 称D(x)=[f(t)dt, x e[a, b] 为变上限的定积分;类似称 (x)= f(t)dt 为变下限的定积分.定理9.9（变上限定积分的连续性）若 f 在[a, b] 上可积, 则 d(x)=[ f(t)dt 在[a, b]上连续。证 Vx e[a,b],若x+Axre[a,b],则后页返回前页
前页 后页 返回 一、变限积分与原函数的存在性 设 在 上可积, 则 在 上 f a, b x a, b f a, x [ ] [ ], [ ] 积分; 类似称 ( ) ( )d b x x f t t = 为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 若 在 上可积 f a, b [ ] , ( ) ( )d [ , ] x a 则 在 x f t t a b = 证 x [a, b], 若x + x [a, b], 则 上连续. ( ) ( )d , [ , ] x a 可积. 称 x f t t x a b = 为变上限的定
A@ = [*+* f(t)dt - [" f(t)dt = [*+r f(t)dt.因 f 在[a, bl 上有界,故3M,lf(t)/≤M,xe[a,b]于是 /A]-*+ (t)dt≤M /Ax, 从而lim,△@=0. 由x 的任意性, f 在[a, b 上连续,AX0定理9.10（微积分学基本定理）若 f 在 [a, b] 上连续,则 d(x)= [ f(t)dt 在[a,b]上处处可导，且d@(x) =f(t)dt = f(x),x e[a,b].dx后页返回前页
前页 后页 返回 Δ ( )d ( )d x x x a a f t t f t t + = − ( )d . + = x x x f t t 因 在 上有界 f a, b [ ] ,故 M f t x a b , | ( ) | , [ , ]. 于是 | Δ | ( )d | Δ | , x x x f t t x 从而 + = 定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, ( ) ( )d [ , ] x a x f t t a b = 则 在 上处处可导,且 = = d ( ) ( )d ( ), [ , ]. d x a x f t t f x x a b x 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. Δ 0 lim Δ 0. x → =
证 Vx e[a, b], 当 Axr± 0, 且 x+ △x e[a, b]时,AΦcx+Af(t)dt = f(x + Ar), 0 ≤≤1.ArA由于f在x处连续，因此@(x)= lim f(x +0Ax)= f(x).注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似乎不相于的概念之间的内在联系，也证明了“连续函数必存在原函数”这个重要结论后页返回前页
前页 后页 返回 证 + x a b x x x a b [ , ], 当 Δ 0, 且 Δ [ , ] , 时 Δ 1 Δ ( )d Δ Δ x x x f t t x x + = = f (x +x), 0 1. 由于 f 在 x 处连续，因此 Δ 0 ( ) lim ( Δ ) ( ). x x f x x f x → = + = 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连
注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为F(x)= J, f(t)dt +C.用x=a代入,得F(a)=C;再用x=b代入,则得I, f(t) dt = F(b) - F(a).定理9.11（积分第二中值定理）设f在[a,bl上可积(i) 若函数g 在[a, bl 上单调减,且 g(x)≥0, 则存更 ' f(x)g(x)dx= g(a)/" f(x)dx在[a, bl, 使前页后页返回
前页 后页 返回 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, ( ) ( )d . x a F x f t t C = + 用 代入,得 再用 代入,则得 x a F a C x b = = = ( ) ; ( ) d ( ) ( ). b a f t t F b F a = − 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g(x) 0, 则存 在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d . = a b a f x g x x g a f x x 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
(ii) 若函数g 在[a, bl 上单调增,且 g(x)≥ 0,则存在 n e[a, bl, 使 [, f(x)g(x)dx = g(b), f(x)dx证这里只证(i)，类似可证(ii).证明分以下五步：(1) 对任意分割 T: a=x<x,<.….<x,=b,1-J' f(x)g(x)dx-Z/" f(x)g(x)dxXi-1i-1Z[ (x) I g(x) - g(xi-) Idxi=1+Zg(x,-) (x)dx =1,+ 1.i-1(2) 因 / f(x) / <L, xE[a, b], 故前页后页返回
前页 后页 返回 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g(x) 0, 则存 在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a f x g x x g b f x x = 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T： , a = x0 x1 xn = b ( ) ( )d b a I f x g x x = 1 1 ( ) ( )d i i n x x i f x g x x − = = 1 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ]d i i n x i x i f x g x g x x − − = = − . 1 2 = I + I 1 1 1 ( ) ( )d i i n x i x i g x f x x − − = + (2) | ( ) | , [ , ], 因 f x L x a b 故
≥" (x)I g(x)-g(xμ)]dx11. /=Xi-1≥"1 (x)1-I g(x)-g(xi-1)]dxsL2w'Ax,i=1i-1因g 可积,故 ET :a=x,<x,<...<x,=b,使ZoA-se8Li-1(3) 设 F(x)=[ f(t)dt, 则1, -Zg(xi-1)[F(x)-F(xi-1)]i=1= g(x,)[F(x) -F(x)I+...+ g(xn-)[F(xn)-F(xn-))后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 1 1 | | ( ) [ ( ) ( )]d i i n x i x i I f x g x g x x − − = = − 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | d i i n x i x i f x g x g x x − − = − 1 Δ . n g i i i L x = 0 1 , : , n 因 可积 故 使 g T a x x x b = = 1 Δ n g i i i x L = 1 | | . I 2 1 1 1 ( )[ ( ) ( )] n i i i i I g x F x F x − − = = − 0 1 0 = − + g x F x F x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] + g xn−1 F xn − F xn−1 (3) ( ) ( )d , x a 设 F x f t t = 则
= F(x)[g(x)- g(x)I+...+ F(x.-)[g(xn-2)- g(xn-1)I+ F(xn)g(xn-1) F(x,)Ig(xi-1) - g(x,)I+ F(b)g(xn-1).i-1由对 g 的假设, g(xn-1)≥0, g(x-1)-g(x,)≥0. 记m= min ( F(x)), M= max (F(x)),xe(a,b)xe(a,b)n-1则 I, ≤ ME[g(xi-1)- g(x,)I+ Mg(xn-1) = Mg(a),i-1n-1I, ≥m [g(x-1)- g(x,)I + mg(x,-1) =mg(a),i-1返回前页后页
前页 后页 返回 1 1 , ( ) 0, ( ) ( ) 0. n i i 由对 的假设 记 g g x g x g x − − − 1 0 1 = − + F x g x g x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ). 1 1 1 1 − = = − − + − n i F xi g xi g xi F b g xn ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) + F xn−1 g xn−2 − g xn−1 + F xn g xn−1 ( , ) min { ( ) }, x a b m F x = ( , ) max { ( ) }, x a b M F x = 1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i 则 I M g x g x Mg x Mg a − − − = − + = 1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i I m g x g x mg x mg a − − − = − + =
于是 mg(a)≤ I, ≤ Mg(a)(4) 综合 (2), (3), 得到mg(a) -≤ I + I, ≤Mg(a) +6.令→0, 便得 mg(a)≤I 0, 则 m≤≤M. 由 F(x)=["f(t)dig(a)前页后页返回
前页 后页 返回 (4) 综合 (2), (3), 得到 1 2 mg a I I Mg a ( ) ( ) . − + + 令 便得 → 0, ( ) ( ). mg a I Mg a (5) ( ) 0, ( ) ( )d 0, b a 若 则 此时任取 g a I f x g x x = = = [ , ], a b 满足 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x = ( ) ( ). 于 是 mg a I2 Mg a 若 则 g a( ) 0, . ( ) M g a I m ( ) ( )d x a 由 F x f t t =
的连续性，存在e[a,bl,使F(5)= f'f(t)dt=-g(a)[' f(x)g(x)dx= g(a) [" f(x) dx.即推论设 f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,则存在[a,b],使' f(x)g(x)dx = g(a)" f(x)dx + g(b)f' (x)dx.后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( )d , ( ) a I F f t t g a = = 则存在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a a f x g x x g a f x x g b f x x = + 推论 设 在 上可积, 在 上单调, f x a b g x a b ( ) [ , ] ( ) [ , ] 的连续性 ,存在 [a, b], 使 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x = 即