S2函数极限的性质在前面一节中引进的六种类型的函数极限，它们都有类似于数列极限的一些性质.这里仅效代叙述A并证明这些性质，至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可。一、limf(x）=A的基本性质X→Xo二、 范例前页返回后页
前页 后页 返回 在前面一节中引进的六种类型的函数 §2 函数极限的性质 二、范例 一、 的基本性质 性质. 这里仅以为代表叙述 质与证明，只要相应作一些修改即可. 并证明这些性质，至于其它类型的性 极限，它们都有类似于数列极限的一些 返回
一、lim f(x)=A 的基本性质x-→xo定理3.2（惟一性）若 lim f(x)存在,则此极限惟一x-→xo定理3.3（局部有界性）若lim f(x)存在,则f(x)在 x,的某空心邻域X→X0U°(x)内有界前页后页返回
前页 后页 返回 定理3.2 ( 惟一性 ) lim ( ) 0 f x 若 x→x 存在, 则此极限惟一. 0 lim ( ) x x f x A → 一 、 = 的基本性质 定理 3.3（局部有界性） 0 lim ( ) , x x f x → 若 存在 0 则f x x ( ) 在 的某空心邻域 0 U x( )内有界
注:(1)试与数列极限的有界性定理（定理2.3）作一比较；(2）有界函数不一定存在极限；(3) lim =-1, 但 = 在 (0, 2)上并不是有界的, 这x→1 xx说明定理中“局部”这两个字是关键性的.返回前页后页
前页 后页 返回 注： (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 但 在 ( 0, 2 ) 上并不是有界的 . 这 1 1, 1 (3) lim x 1 x x = → 说明定理中 “局部” 这两个字是关键性 的. 比较；
定理3.4（局部保号性）若limf(x)=A>0(或r>0 (或 f(x)<-r<0)定理 3.5（保不等式性） 设 lim f(x)与 lim g(x)X-Xox→Xo都存在，且在某邻域 U(xo;s) 内有 f(x)≤g(x)，则lim f (x)≤ lim g(x).x-→xox-xo后页返回前页
前页 后页 返回 定理3.4（局部保号性）若 lim ( ) 0 ( 0), 0 = → f x A 或 x x 则对任何正数 r A(或 r −A), 存在U (x0 ), 使得 f (x) r 0 ( 或 f (x) −r 0 ). 对一切 xU (x0 ), 有 定理 3.5（保不等式性） lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x x→x x→x 设 与 0 都存在, ( ; ) ( ) ( ) , 且在某邻域 U x f x g x 内有 则 lim ( ) lim ( ). 0 0 f x g x x→x x→x
定理 3.6 （迫敛性） 设 lim f(x)= lim g(x)= A,且x-→X0x-→xo在x。的某个空心邻域U°(x;S) 内有f(x)≤h(x)≤ g(x)那么 lim h(x)= A.x-Xo返回前页后页
前页 后页 返回 设 lim ( ) lim ( ) , 且 0 0 f x g x A x x x x = = → → 定理 3.6（迫敛性） 0 0 在 x U x 的某个空心邻域 ( ; ) 内有 f (x) h(x) g(x). lim ( ) . 0 h x A x x = → 那么
定理3.7（四则运算法则）若 lim f(x)，lim g(x)x-xox→xo都存在,则f±g,fg 在点 xo的极限也存在，且(1) lim [f(x)±g(x)/= lim f(x)± lim g(x);x-→xox-→x0x→xo(2) lim f(x)g(x)= lim f(x). lim g(x);x→xox→xox-xo-os(3) 又若 lim g(x)+0, 则在点x.的极限也存在x-xo并有lim f(x)f(x)x-xolimlim g(x)x-→xo g(x)x-→xo后页返回前页
前页 后页 返回 (1) lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ); 0 0 0 f x g x f x g x x→x x→x x→x = (2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ); 0 0 0 f x g x f x g x x→x x→x x→x = 都存在, 则 f g, f g 在点 x0 的极限也存在, 且 (3) lim ( ) 0 , 0 → g x x x 又若 在点 x0 的极限也存在, g f 则 定理 3.7（四则运算法则）若 lim ( ) , 0 f x x→x lim ( ) 0 g x x→x . lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x → → → = 并有
例1 求limXx-0X例2 求极限 lim(xtanx-1)-1例3求极限1+x+x2+...+x"-n-1limx-1→1例4 求证 lima=1 (a>1)x-0返回前页后页
前页 后页 返回 例 1 . 1 lim 0 → x x x 求 例 2 求极限 π 4 lim( tan 1). x x x → − 例 3 求极限 2 1 1 1 lim . 1 n x x x x n → x + + + + − − − 例4 lim 1 ( 1). 0 = → a a x x 求证
复习思考题1. 设 lim f(x)=a 存在，lim g(x) 不存在，试问x-→xoX-→Xo极限 lim f(x)g(x)是否必定不存在?x-xo2. 设 lim g(x)=uo, lim f(u)=A, 这时是否必有X→Xo→uolim f(g(x)) = A ?x→xo后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 1. lim ( ) , lim ( ) , x x x x f x a g x → → 设 存在 不存在 试问 = 复习思考题 0 0 0 2. lim ( ) , lim ( ) , x x u u g x u f u A → → 设 = = 这时是否必有 0 lim ( ( )) ? x x f g x A → = 0 lim ( ) ( ) ? x x f x g x → 极限 是否必定不存在