85定积分在的物理的某些应用日的要求·能熟练的用微元法将物理学中的实际问题抽象成为定积分重点难点：用微元法将实际问题抽象成定积分学时安排（2学时）教学过程如下：定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。这里介绍几个有代表性的例子1变力沿直线所作的功问题从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力作用，并且力F的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
1 §5定积分在的物理的某些应用 目的要求:能熟练的用微元法将物理学中的实际问题抽象成为 定积分. 重点难点:用微元法将实际问题抽象成定积分. 学时安排:(2学时) 教学过程如下: 定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所 介 绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定 积分的问题。这里介绍几个有代表性的例子。 1 变力沿直线所作的功问题 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物 体
移动了距离s时,力F 对物体所作的功是W=F·S，如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为+q的点电荷放在r轴的原点o处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F=kq(k是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从r=α处沿r 轴移到r=b(a<b)处时，计算电场力对它所做的功。+g0a2
2 移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 ， 如果 物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对 物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功。 轴移到 处时，计算电场力对它所做的功。 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处沿 放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 ，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷 例 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场 ( ) ( 1 2 r r b a b k r a r q F k o r q r o = = = + W = Fs
解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 r 为积分变量，它的变化区间为[a,bl，在[a,b]上任取一小区间为[r,r + △r],当单位正电荷从r移到 r + △r 时，电场力对它所做的功驾 Ar,理论上可证明 AW- 驾 Ar=o(Ar), 因此做功微元为;:△W~！rrkqd, 于是所求的功为 W=jaw-1αdr=kg(-[,=ka(一-)dw.23
3 2 2 2 2 [ , ] , [ , ] [ , ], , ( ), 1 1 1 , ( ) . b b b a a a r a b a b r r r r r r kq kq W r W r o r r r kq kq dW dr W dW dr kq kq r r r a b + + − = = = = = − = − 解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的 ，取 为积分变量，它的变化区间为 在 上任取一小区间为 当单位正电荷从 移到 时，电场力对它所做的功 理论上可证明 因此做功微元为： 于是所求的功为
2液体静压力问题例2某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为10m与6m高为20m,较长的底边与水面对齐，计算闸门的一侧所受的水压力。10m解：如图所示，以闸门的长底边的中点为O原点且铅直向下作 x 轴，取 x 轴为积分变量,它的变化范围为 [0,20],在 [0,20] 上任取一小x+dx20m区间[x,x+△xl,闸门上相应于该小区间的窄条各点所受到水的压强近似于xg(kN /m2)S这窄条的长度近似为 10－高为△x，因x而这一窄条的一侧所受的水压力近似为：55△F ~ xg10 -110.△x，可以证明 △F - xg Ax = o(△x), 因此:xx4
4 ( ) 2 2 2 10 6 , 20 , [0,20], [0,20] [ , ], / , 5 10 , m m m x x x x x xg kN m x x + − 液体静压力问题 例 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为 与 高为 较长的底边与水面对齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 解：如图所示，以闸门的长底边的中点为 原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量， 它的变化范围为 在 上任取一小 区间 闸门上相应于该小区间的窄 条各点所受到水的压强近似于 这窄条的长度近似为 高为 ，因 ( ) 5 5 F xg x F xg x o x 10 , 10 , x x − − − = 而这一窄条的一侧所受的水压力近似为： 可以证明 因此：
5压力微元 dF = xg10dx，于是所求的压力为：x800SF=[ dF=[ xg 10-2000dx =~ 14373 (kN)3x03 引力问题世千本正社例3 设有一根长度为l,线密度为p的均匀直+ya单位处有一质量为m的质点。试计算该棒yy+dy解 取坐标系如图所示，使棒位于y轴上，质点M位于x轴上,棒的中点为原点o,取y0aM711为积分变量，它的变化区间为2'2{{在上任取一小区间[y,y+△y]2'25
5 20 20 0 0 5 10 , 5 800 10 2000 14373 ( ). 3 3 3 , , , dF xg dx x F dF xg dx g kN x l a m M y M x o y = − = = − = − 压力微元 于是所求的压力为： 引力问题 例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力。 解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上， 质点 位于 轴上 棒的中点为原点 取 为积分变量，它的变化区间 2 2 [ , ], 2 2 l l l l y y y − − + 为 ， 。 在 ， 上任取一小区间
把细直棒上相应于[y,y+Ay] 的一段近似地看成质点，其质量为p Ay与M相距r=α2+y2,因此，可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点M的引力 F~kmpy从而求出△F在水平方向分力a? +y,且可证明AF,--k_amp AyAF,的近似值，即△F,~-k_amp Ay(a + y2)(a2 + y2)=o(4y)，于是，细棒对质点M的引力在水平方向分力F的微元为：ampdF =-kdy，于是得到引力在水平方向的分力为(a2 + y2)6
6 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 [ , ] , , , , , x x x x x y y y y M r a y m y M F k F a y am y am y F F k F k a y a y o y M F dF + = + + − − − + + = 把细直棒上相应于 的一段近似地看成质点，其质量为 与 相距 因此，可以按照两质点间的引力计算公式求出这 段细直棒对质点 的引力 从而求出 在水平方向分力 的近似值，即 且可证明 于是，细棒对质点 的引力在水平方向分力 的微元为： ( ) 3 2 2 2 , am k dy a y = − + 于是得到引力在水平方向的分力为：
2kmplamp其中负号表示F指向xdFHEdyV4α2+ 1222轴的负向．又由对称性可知，引力在铅直方向分力F，=0课后记这部分在上习题课时，要再加强训练
7 ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 , 4 . 0. l l x x x l l y am km l F dF k dy F x a l a y F − − = = − = + + = 其中负号表示 指向 轴的负向 又由对称性可知，引力在铅直方向分力 课后记 这部分在上习题课时,要再加强训练