《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第四节 二重积分的变量变换

S 4 二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量换公式，并用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换前页后页返回

前页 后页 返回 §4 二重积分的变量变换 本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论. 一、二重积分的变量变换公式 返回 三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换

一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中，我们得到了如下结论：设f(x)在区间[a,b]上连续,x=(t)当 t从α变到β时严格单调地从a变到b,且p(t)连续可导,则J" f(x)dx=f f(o(t)p'(t)dt.(1)当α0)时, 记X=[a,b], Y=[α, β], 则X=(Y),Y=β-(X).利用这些记号,公式(1)又可写成后页返回前页

前页 后页 返回 一、二重积分的变量变换公式 在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续, x t = ( ) 当 t 从  变到  时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( )t 连续可导, 则 ( )d ( ( )) ( )d . (1) b a f x x f t t t   =     当    (即 ( ) 0 t  )时, 记 X a b Y = = [ , ], [ , ],   则 1 X Y Y X   ( ), ( ). − = = 利用这些记号, 公式(1)又可 写成

Jxf(x)dx= J(2)x f(p(t)p'(t)dt.0-1(X)当α>β(即β(t)<0)时,(1)式可写成J,(x)dx=-J,x)(0(0)(t)dt.(3)故当β(t)为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式：J,(x)dx=J(x)((0)0(0)dt.(4)下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理后页返回前页

前页 后页 返回 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (2) X X f x x f t t t  = −     当    (即 ( ) 0 t  )时, (1)式可写成 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (3) X X f x x f t t t  = − −     故当 ( )t 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式: 1 ( ) ( )d ( ( )) | ( ) |d . (4) X X f x x f t t t  = −     下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理

引理 设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域^，一对一地映成xy平面上的闭区域D.函数x(u,v),y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式a(x, y)+0, (u,v)e△,J(u,v)=a(u, v)则区域D的面积μ(D) = [[1 J(u, v) [dudv.(5)A后页返回前页

前页 后页 返回 引理 设变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域  , 一对一地 映成xy平面上的闭区域D. 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在  内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v  =     则区域 D 的面积 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v  =  (5)

证下面给出当y(u，)在△内具有二阶连续偏导数时的证明.（注：对y(u,v)具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章$9中给出.)由于T是一对一变换,且J(u,v)≠0,因而T把△的内点变为D的内点,所以^的按段光滑边界曲线L也变换为D 的按段光滑边界曲线Lp设曲线L的参数方程为u=u(t), v=v(t)(α≤t≤β).由于L按段光滑,因此u'(t),v(t)在[α,β]上至多除后页返回前页

前页 后页 返回 证 下面给出当 y u v ( , ) 在  内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对 y u v ( , ) 具有一阶连续偏导数条件 下的一般证明,将在本章§9 中给出. ) 由于T 是一对一变换, 且 J u v ( , ) 0,  因而T 把  的 内点变为D 的内点  L , 所以 的按段光滑边界曲线 也变换为D 的按段光滑边界曲线 LD . 设曲线 L 的参数方程为 u u t v v t t = =   ( ), ( ) ( ).   L 由于 按段光滑, 因此 u t v t   ( ), ( ) 在 [ , ]   上至多除

去有限个第一类间断点外.在其他的点上都连续，又因 L,=T(L),所以 L,的参数方程为x = x(t) = x(u(t), v(t)(α≤t≤β).y = y(t) = y(u(t), v(t))若规定t从α变到β时,对应于L,的正向,则根据格林公式,取P(x,y)=0,Q(x,y)=x,有(D)=f,xdy-T x()(0)d1LDαdyafe x(u(t), v(t)v'(t) dt.(6)(t)OvQu后页返回前页

前页 后页 返回 去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 ( ), 因 L T L D =  所以 LD 的参数方程为 ( ) ( ( ), ( )) ( ). ( ) ( ( ), ( )) x x t x u t v t t y y t y u t v t   = =   = = 若规定 t 从  变到  时 LD , 对应于 的正向, 则根据格 林公式, 取 P x y Q x y x ( , ) 0, ( , ) , = = 有 ( ) d ( ) ( )d LD D x y x t y t t    = =    ( ( ), ( )) ( ) ( ) d . (6) y y x u t v t u t v t t u v       = +         

另一方面，在uv平面上ayay$, x(u, v)dydu+OvQuayayBv'(t)dt,(7)= ± x(u(t), v(t)Xav oua其中正号及负号分别由t从α变到β时,是对应于L的正方向或负方向所决定.由(6)及(7)式得到ayayμ(D)=±d, x(u, v)dyOvou后页返回前页

前页 后页 返回 另一方面, 在 uv 平面上 ( , ) d d L y y x u v u v  u v     +        ( ( ), ( )) ( ) ( ) d , (7) y y x u t v t u t v t t u v       =  +          其中正号及负号分别由 t 从  变到  时 L , 是对应于 的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到 ( ) ( , ) d d L y y D x u v u v u v       =  +       

ayaydv.duxx(u,v)三仓2ouOvaydy令 P(u, v)=x(u, v)在uv平Q(u,v)x(uOvQu面上对上式应用格林公式,得到apaQdudv.μ(D)=±Quav4a"y由于函数 (u,)具有二阶连续偏导数,即有QuovapaQ",因此= J(u,v),于是QuOvOvOu前页后页返回

前页 后页 返回 ( , ) d ( , ) d . L y y x u v u x u v v  u v   =  +    令 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , y y P u v x u v Q u v x u v u v   = =   在uv平 面上对上式应用格林公式, 得到 ( ) d d . Q P D u v u v      =  −         y u v ( , ) 2 y u v  =   由于函数 具有二阶连续偏导数, 即有 , 2 y v u    ( , ), Q P J u v u v   − =   因此 于是

μ(D) =+Jf J(u, v)dudv.△又因为μ(D)总是非负的,而J(u,v)在△上不为零且连续，故其函数值在^上不变号，所以μ(D)= [ll J(u, v) Idudv.△定理21.13设f(x，y)在有界闭区域D上可积,变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数x(u,v),J(u,v)在△内分别具有返回前页后页

前页 后页 返回 ( ) ( , )d d . D J u v u v  =  又因为 ( ) D 总是非负的, 而 J u v ( , ) 在  上不为零且 连续, 故其函数值在  上不变号, 所以 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v  =  定理21.13 设 f x y ( , ) 在有界闭区域D 上可积, 变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv 平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域  一对一地映成xy 平面上 的闭区域D, 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在  内分别具有

一阶连续偏导数且它们的函数行列式a(x, y)+0, (u, v)e△,J(u, v) =a(u, v)则有[ f(x, y)dxdy =[f f(x(u, v), y(u,v)/ J(u,v)]dudv.D△证用曲线网把△分成n个小区域△，在变换T作用下,区域D也相应地被分成n个小区域D.记△,及D,的面积为μ(△,)及μ(D,)(i=1,2,,n). 在对 y的后页返回前页

前页 后页 返回 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v  =     证 用曲线网把  分成 n个小区域 i , 在变换T作用 下 Di i , 区域D 也相应地被分成n 个小区域 . 记 及 Di ( )  i ( )( 1,2, , ). 的面积为 及  D i n i = 在对 y 的 ( , )d d ( ( , ), ( , )) | ( , ) |d d . D f x y x y f x u v y u v J u v u v  =   则有