s1 第一型曲线积分本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.一、第一型曲线积分的定义二、第一型曲线积分的计算前页后页返回
前页 后页 返回 §1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段 上的第一型曲线积分.此类积分的典型物 理背景是求非均匀分布的曲线状物体的 质量. 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回
一、第一型曲线积分的定义设某物体的密度函数f(P)是定义在2上的连续函数当Q是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当Q是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题(1)分割：把2分成 n个可求长度的小曲线段2(i = 1, 2, .., n).(2)近似求和：在每一个Q;上任取一点P.由于后页返回前页
前页 后页 返回 一． 第一型曲线积分的定义 设某物体的密度函数 f P( ) 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. ( 1, 2, , ). i n = i . Pi (2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
f(P)为Q上的连续函数,故当2,的弧长都很小时每一小段2,的质量可近似地等于f(P)△2,其中△2为小曲线段2.的长度于是在整个2上的质量就近似地等于和式ZF(P,)A2,.i=1(3)当对2的分割越来越细密(即d=max△2,→0)1<i<n时，上述和式的极限就应是该物体的质量由上面看到.求物质曲线段的质量，与求直线段的质前页后页返回
前页 后页 返回 f P( )为 上的连续函数 i , 故当 的弧长都很小时, 每一小段 i 的质量可近似地等于 f P( ) , i i 其中 i 为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 = 1 ( ) . n i i i f P = → 1 max 0 i i n (3) 当对 的分割越来越细密(即 d ) 时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
量一样，也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义，定义1设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,)为定义在L上的函数.对曲线L做分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段L,(i=1,2,…,n),L,的弧长记为△s,分割T的细度为T=max△s,,在L,上任取<i<n一点(S;,n;)(i=1,2,,n).若有极限lim, Zf(5, n;)As, = J,ITI-0i=1后页返回前页
前页 后页 返回 量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. ( 1, 2, , ), n 个可求长度的小曲线段 L i n L i i = 的弧长 定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L 分成 , i s T 1 || || max , i i n T s 记为 分割 的细度为 = 在 Li 上任取 一点 ( , ) ( 1, 2, , ). i i i n = 若有极限 || || 0 1 lim ( , ) , n i i i T i f s J → = = 定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f x y ( , ) 为
且J的值与分割T与点(S,,n)的取法无关，则称此极限为f(x,J)在L上的第一型曲线积分，记作J, f(x, y)ds.若L为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在 L上的函数,则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线积分，并且记作[, f(x, y, z)ds.于是前面讲到的质量分布在曲线段L上的物体的质后页返回前页
前页 后页 返回 J ( , ) T i i 且 的值与分割 与点 的取法无关, 则称此 极限为 f x y L ( , ) 在 上的第一型曲线积分, 记作 ( , )d . L f x y s L 为空间可求长曲线段 , 若 f x y z ( , , ) 为定义在 L 上 的函数, 则可类似地定义 f x y z ( , , ) 在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作 ( , , )d . L f x y z s 于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得1. 若, ,(x, )ds(i= 1,2,.,)在c,(i=1, 2, ,k)为人常数,则[,c;f(x,y)ds 也存在,且i-1J,Zef(x, y)ds -ZcJ, J(x, y)ds.i=1i=12.若曲线段L由曲线L,Lz，,L,首尾相接而成J f(x, y)ds(i=1,2,,k)都存在, 则 J,(x, y)ds也存在，且后页返回前页
前页 后页 返回 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. ( , )d ( 1,2, , ) i L f x y s i k = ( 1, 2, , ) i 1. 若 在 c i k = 为 常数, 则 1 ( , )d k i i L i c f x y s = 也存在, 且 1 1 ( , )d ( , )d . k k i i i i L L i i c f x y s c f x y s = = = L 1 2 , , , 2. 若曲线段 由曲线 L L Lk 首尾相接而成, ( , )d ( 1,2, , ) Li f x y s i k = ( , )d L f x y s 都存在 , 则 也存在, 且
J, f(x, y)ds =ZJ, J(x, y)ds.i=13. 若[,f(x, J)ds与[,g(x,y)ds都存在,且在L上f(x, y)≤g(x, y),则J,f(x, y)ds≤ J,g(x, y)ds.4. 若[,f(x, y)ds 存在,则[, I(x,y)lds 也存在,且IJ, f(x, y)ds≤ J,1 f(x, y)| ds.前页后页返回
前页 后页 返回 1 ( , )d ( , )d . i k L L i f x y s f x y s = = 3． ( , )d ( , )d L L 若 f x y s g x y s 与 都存在, 且在 L 上 f x y g x y ( , ) ( , ), 则 ( , )d ( , )d . L L f x y s g x y s 4． ( , )d ( , ) d L L 若 f x y s f x y s 存在,则 | | 也存在, | ( , )d | | ( , ) | d . L L f x y s f x y s 且
5.若,f(x,J)ds 存在,L的弧长为s，则存在常数c,使得[,f(x, y)ds = cs,这里inf f(x, y)≤c≤sup f(x, y)LL6.第一型曲线积分的几何意义若L为坐标平面Oxy上的分段光滑曲线,f(x,y)为L上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义，易见以L为准线，母线平行于z轴的柱面上截取返回前页后页
前页 后页 返回 ( , )d L 若 f x y s 5． 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数 ( , )d , L f x y s cs = c, 使得 inf ( , ) sup ( , ). L L 这里 f x y c f x y 6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy 上的分段光滑曲线, f x y ( , ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L 为准线 z , 母线平行于 轴的柱面上截取
0≤z≤f(x,)的部分的面积就是f (x, y)ds.Nz = f(x,y)yLx图20-1前页后页返回
前页 后页 返回 0 ( , ) z f x y ( , )d . L f x y s 的部分的面积就是 y x z O L z f x y = ( , ) 图20 1 −
二，第一型曲线积分的计算x = p(t), t e[α,βl,设有光滑曲线L：定理20.1讠(y =y(t),f(x,y)为定义在L上的连续函数,则J, f(x,y)ds = Jβ f(p(t), y(t)/o"(t) +y"(n)dt. (3)证 由弧长公式知道,L上由t =t-, 到t=t, 的弧长As, = f", V"(t) +y"(t)dt.由√p"(t)+"(t)的连续性与积分中值定理,有后页返回前页
前页 后页 返回 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 ( ), : [ , ], ( ), x t L t y t = = f x y ( , ) 为定义在 L 上的连续函数, 则 2 2 ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( )d . (3) L f x y s f t t t t t = + L i i 1 证 由弧长公式知道, 上由 t t t t = = − 到 的弧长 1 2 2 ( ) ( )d . i i t i t s t t t − = + 2 2 由 ( ) ( ) t t + 的连续性与积分中值定理, 有