S1 不定积分概念与基本积分公式不定积分是求导运算的逆运算一、原函数二、不定积分三、不定积分的几何意义四、基本积分表返回前页后页
前页 后页 返回 §1 不定积分概念与 基本积分公式 一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表 三、不定积分的几何意义 二、不定积分 返回
一、原函数微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x)使F(x)= f(x).例如已知速度函数v(t),求路程函数s(t).即求s(t), 使 s'(t) =v(t)又如，已知曲线在每一点处的切线斜率k(x),求f(x),使 y=f(x)的图象正是该曲线，即使得f'(x) = k(x).后页返回前页
前页 后页 返回 微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 一、原函数 使 s t s t v t ( ), ( ) ( ). 使 = 例如 已知速度函数 求路程函数 即求 v t s t ( ), ( ). 又如, ( ), 已知曲线在每一点处的切线斜率 k x 求 f x y f x ( ), ( ) , 使 = 的图象正是该曲线 即使得 f x k x ( ) ( ). = F x f x ( ) ( ). =
定义1设函数 f与F在区间I上都有定义,若F'(x)= f(x), x e I,则称f为F在区间I上的一个原函数例1 (i) 路程函数 s(t)是速度函数v(t)的一个原函数：s'(t) = v(t).3x-3(ii)是x的一个原函数：）家t后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 设函数 与 在区间 上都有定义,若 f F I 则称 为 在区间 上的一个原函数 f F I . F x f x ( ) ( ) = ， x I , 3 2 (ii) 3 x 是 x 的一个原函数: x x 3 2 . 3 = 例1 (i) ( ) ( ) 路程函数 是速度函数 的一个原函 s t v t s(t) = v(t). 数:
1(iii) ln(x + /1 + x2) 是的一个原函数：V1+x?(a+)-(iv)(xv1-+arcsinx)是V1- 的一个原函数：[(r/1-r +aresinx)]-V1-r.从(ii)(iv)可以看出,尽管象1和Vi-x?V1+x?后页返回前页
前页 后页 返回 x x x 2 2 1 (iii)ln( 1 ) 1 + + + 是 的一个原函数: ( ) 2 2 1 ln( 1 ) . 1 x x x + + = + 从(iii) (iv)可以看出, 尽管象 ( ) 1 2 2 (iv) 1 arcsin 1 : 2 x x x x − + − 是 的一个原函数 ( ) 1 2 2 1 arcsin 1 . 2 x x x x − + = − 2 2 1 1 1 x x − + 和
这种形式简单的函数，要求出它们的原函数也不是一件容易的事研究原函数有两个重要的问题1.满足何种条件的函数必定存在原函数？如果存在原函数，它是否惟一?2.若已知某个函数的原函数存在，如何把它求出来?返回前页后页
前页 后页 返回 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 在原函数,它是否惟一? 来?
第一个问题由以下定理回答定理8.1（原函数存在性定理）若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F(x)= f(x).在第九章中将证明此定理前页后页返回
前页 后页 返回 第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函 f I f I , F x f x ( ) ( ). = 在第九章中将证明此定理. 数 F, 即
定理8.2（原函数族的结构性定理）设F(x)是 f(x)在区间I上的一个原函数,则(i) F(x)+C也是 f(x)在I上的原函数,其中C为任意常数(ii)f (x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数返回前页后页
前页 后页 返回 定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 是 在区间 上的一个原函数 则 F x f x I ( ) ( ) , (i) ( ) ( ) , F x C f x I C + 也是 在 上的原函数 其中 (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 为任意常数. 一个常数
证 (i) 由(F(x)+C)=F'(x)= f(x), 知 F(x)+C也是f(x)在I上的原函数(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原函数,则(F(x) -G(x)'= F'(x)-G'(x)= f(x)- f(x)= 0.由第六章拉格朗日中值定理的推论，即知F(x)-G(x)=C.后页返回前页
前页 后页 返回 证 (i) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ) 由 知 F x C F x f x F x C + = = + 也是 在 上的原函数 f x I ( ) . (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 (F(x) − G(x)) = F(x) − G(x) 由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F x G x C ( ) ( ) . − =−= f x f x ( ) ( ) 0. 函数, 则
二、不定积分定义2函数f在区间I上的全体原函数称为f在1上的不定积分，记作J f(x)dx ,其中称x为积分变量，f(x)为被积函数f(x)dx为积分表达式，「为积分号若 F(x)是f(x)的一个原函数,则由定理 8.2,[ f(x)dx=(F(x)+C/ CeR)前页后页返回
前页 后页 返回 f x x ( )d , 二、不定积分 定义2 函数 在区间 上的全体原函数称为 f I f 在 I 上的不定积分, 记作 其中称 x f x 为积分变量, ( ) , 为被积函数 f x x ( )d . 为积分表达式 , 为积分号 若 是 的一个原函数 则由定理 F x f x ( ) ( ) , 8.2, f x x F x C C ( ) d ( ) R . = +
为方便起见,我们记「f(x)dx=F(x)+C. 其中C为任意常数由此,从例1(ii) (ii) (iv)可得：Jx'dx=1'+c,3dxIn(x+ V1+x)+cVi+xJV-'dx--(x/l- +aresinx)+c.后页返回前页
前页 后页 返回 为方便起见, 我们记 f x x F x C ( )d ( ) . = + 其中 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得: = + x x x C 2 3 1 d , 3 2 2 d ln( 1 ) , 1 x x x C x = + + + + ( ) 2 2 1 1 d 1 arcsin . 2 − = − + + x x x x x C C 为任意常数