S1拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系的桥梁.有了中值定理，就可以根据f在区问上的性质来得到f在该区问上的整体性质。一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别返回前页后页
前页 后页 返回 §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理,就可以根据 f 在区间上的性 中值定理是联系 f 与 f 的桥梁.有了 返回
一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上满足：(i) 在闭区间[a,bl上连续(ii)在开区间(a,b)上可导：(iii) f(a) = f(b),那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点，使f'()=0.返回前页后页
前页 后页 返回 定理6.1(罗尔中值定理) 设函数 f (x)在区间[a,b]上满足： 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使 f ( ) 0. = (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b)
(1)几何意义据右图，因为Vf (a) = f(b),B所以线段AB是水平A的.由几何直观可以a看出，曲线上至少有bx一点处的切线也是水平的.返回前页后页
前页 后页 返回 (1) 几何意义 据右图, x y a b A B 1 2 O 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 f (a) = f (b)
(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成立.Vx, 0≤x<1(a) 函数 f(x)=0,x=1在[0,1] 上满足条件(ii)和x0(iii),但条件(i)不满足，该函数在(0,1)上的导数恒为1.后页返回前页
前页 后页 返回 (2) 条件分析 O x y 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 = = 0, 1 , 0 1 (a) ( ) x x x 函数 f x 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该函
(b) f(x)=/ x l, xe[-1, 1]满足条件(i)和(ii),但条件(ii)却遭到破坏(f 在x=0X-10l处不可导）结论也不成立(c) f(x)= x, xe[0,1] 满足条件(i)和(ii),但条件(iii)却遭到破坏,该函数在(0,1)0x1内的导数恒为1.后页返回前页
前页 后页 返回 (b) f (x) = | x |, x [−1, 1] 满足条件 (i) 和 (iii), 但条件 条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii) (c) f (x) = x, x [0, 1] 满足 O x y 1 O y − 1 1 x 处不可导), 结论也不成立. (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1)
注函数f(x)=x"D(x)V在区间[-1,2]上三个3条件都不满足，却仍有2f'(0)-0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件01-12 x返回前页后页
前页 后页 返回 2 注 函数 f x x D x ( ) ( ) = -1 O 1 2 1 2 3 4 x y 在区间[ 1, 2] − 上三个 条件都不满足, 却仍有 f (0)=0. 这说明罗尔定 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件
定理的证明因为f(x)在[a,bl上连续,所以由连续函数的最大、最小值定理,f(x)在[a,bl上能取得最大值M和最小值m.下面分两种情形加以讨论情形1 M=m. 此时 f(x)恒为常数,它的导函数恒等于零，此时可在（a,b)内随意取一点三，就有f'() =0 .返回前页后页
前页 后页 返回 定理的证明 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M = m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 f () = 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有
情形2m<M.既然最大、最小值不等，从而最大值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最大值不在端点取到,故存在E(a,b),使得f(5)= M.因为在区间内部取到的最大值一定是极大值，所以由费马定理，得f'()=0.返回前页后页
前页 后页 返回 情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大 f ( ) = M. f ( ) = 0. 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以 大值不在端点取到,故存在 ( , ), a b 使得 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最 由费马定理,得
例1设p(x)是一个多项式,且方程p(x)=0 没有实根，则方程p(x)=0 至多有一个实根证 设 p(x)有两个实根 xi,x2, i<x2,由于 p(x)是多项式,所以p(x)在[x,x,]上满足罗尔定理的条件，从而存在=(a,b)，使得p(5)=0,这与条件矛盾返回前页后页
前页 后页 返回 1 2 是多项式, ( ) [ , ] 所以 p x x x 在 上满足罗尔定理 p ( ) = 0, 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有实 的条件,从而存在 ( , ) a b ，使得 证 ( ) , , , 设 p x 有两个实根 x1 x2 x1 x2 由于 p x( ) 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根
定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足：(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续；(ii) f(x) 在开区间(a, b) 内可导那么在开区间（a,b)内（至少）存在一点，使得f'(s)= f(b)- f(a)b-a返回前页后页
前页 后页 返回 设函数 f (x) 满足： 定理6.2 (拉格朗日中值定理) (i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 (a ,b) 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − =