s33一般项级数由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论。一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质三、阿贝尔判别法和秋利克雷判别法前页后页返回
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数若级数的各项符号正负相间，即(1)u, -u, +u, -u, +...+(-1)"' un, +..(un > 0, n = 1,2,...),则称为交错级数定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足：(i)数列(u,}单调递减：(ii) limu, = 0,n-00则级数(1)收敛后页返回前页
前页 后页 返回 一、交错级数 1 1 2 3 4 ( 1) (1) n u u u u un + − + − + + − + ( 0, 1,2, ), u n n = 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: (i) { } ; 数列 单调递减 un → (ii) lim 0, n = n u 则级数(1)收敛
证考察交错级数(1)的部分和数列,S,,它的奇数项和偶数项分别为S2m-1 = u, -(u, - ug) -... -(u2m-2 - u2m-1),S2m = (u, - u,) +(ug -ug) +... +(u2m-1 -u2m).由条件(i)，上述两式中各个括号内的数都是非负的从而数列(S,m-}是递减的，而数列(Sm是递增的又由条件(ii)知道0 < S2m-1 - S2m = U2m →0 (m → 00),从而([S2m S2m-1l}是一个区间套.由区间套定理,存后页返回前页
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 2 1 1 2 3 2 2 2 1 − − − = − − − − − ( ) ( ), S u u u u u m m m 2 1 2 3 4 2 1 2 = − + − + + − − ( ) ( ) ( ). S u u u u u u m m m 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 2 1 2 { } { } . 从而数列 是递减的,而数列 是递增的 S S m m − 又由条件 知道 (ii) 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存 2 1 2 2 0 0 ( ), − = → → S S u m m m m −
在惟一的实数 S,使得lim S2m-1 = lim S2m = S.m->00m->0所以数列(S,}收敛,即级数(1)收敛推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为[R,|≤ un+1'对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法，容易检验它们都是收敛的：后页返回前页
前页 后页 返回 − → → lim lim . 2 1 2 m m = = m m S S S { } , (1) . 所以数列 Sn 收敛 即级数 收敛 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 +1 . R u n n 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的: 在惟一的实数 S, 使得
111)n+1(2)+23n+11111n+1;(3)+;+(2n -1)!7!3!5!2413nn+1(4)10210310410"10前页后页返回
前页 后页 返回 + − + − + + − + − 1 1 1 1 1 1 ( 1) ; (3) 3! 5! 7! (2 1)! n n 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 1) . (4) 10 10 10 10 10 n n + n − + − + + − + 1 1 1 1 1 ( 1) ; (2) 2 3 1 n n + − + + + − + +
二、绝对收敛级数及其性质若级数(5)u, +u, +...+u, +...各项绝对值组成的级数(6)u.|+u,I+... +un+...收敛，则称原级数(5)为绝对收敛级数定理12.12绝对收敛的级数是收敛的证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对于任意正数，总存在正数N.使得对n>N和任意正后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 (5) u u u + + + + n 1 2 + + + + (6) u u un 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数 于任意正数 ,总存在正数 使得对 和任意正 N n N ,
整数r,有+...+uUm+<8fu+由于umtUm+1 + Um+2 +... + Um+rl≤|um+1| +|um+2| +... + ummt<8因此由柯西准则知级数(5)也收敛对于级数(5)是否绝对收敛，可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行考察返回前页后页
前页 后页 返回 由于 u u u m m m r + + + 1 2 + + + 因此由柯西准则知级数(5)也收敛. + + + u u u m m m r + + + 1 2 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有 u u u m m m r + + + 1 2 + + +
例1级数2n7aQaαZ&+2!n!n=i n!的各项绝对值所组成的级数是a[ae]"alW2!n!n!应用比式判别法,对于任意实数α,都有JalUn+= 0,limlim1n→ n + 1n-0因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛前页后页返回
前页 后页 返回 = + + + + 2 . ! 2! ! n n n n + → → = = + 1 lim lim 0, 1 n n n n u u n 的各项绝对值所组成的级数是 因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛. 例1 级数 = = + + + + 2 1 ! 2! ! n n n n n 应用比式判别法,对于任意实数,都有
若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收敛.全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排我们把正整数列{1,2,….,n,…}到它自身的一一映射后页返回前页
前页 后页 返回 例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收 敛. 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级 数两大类. 下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质. 1.级数的重排 我们把正整数列{1,2,.,n, .}到它自身的一一映射 若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条 件收敛
f:n→k(n)称为正整数列的重排,相应地对于数列(un) 按映射 F:un→uk(n) 所得到的数列(uk(n)}称为80原数列的重排.相应地称级数Zu(m)为级数(5)的重n=180排,为叙述上的方便,记v,=uk(n),即把级数uk(n)写n=1作(7)'++',+...+'n +..,定理12.13设级数(5)绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级数（7)绝对收敛且和也为S后页返回前页
前页 后页 返回 原数列的重排. 相应地称级数 ( ) 1 k n n u = 为级数(5)的重 = = ( ) ( ) 1 . , , n k n k n n 排 为叙述上的方便 记 即把级数 写 v u u 1 2 + + + + , (7) n v v v 作 定理12.13 设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任 意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S. f n k n : ( ) → 称为正整数列的重排, 相应地对于数列 → ( ) ( ) { } : { } u F u u u n n k n k n 按映射 所得到的数列 称为