S2正项级数收敛性是级数研究中最基本的问题，本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则一、正项级数收敛性的一般判别原则二、比式判别法和根式判别法三、积分判别法*四、拉贝判别法前页后页返回
前页 后页 返回 §2 正项级数 三、积分判别法 返回 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 *四、拉贝判别法
一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).若级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性定理12.5正项级数Zu，收敛的充要条件是：部分和数列{S,}有界,即存在某正数M,对一切正整数 n有S, <M.返回前页后页
前页 后页 返回 一、正项级数收敛性的一般判别原则 若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数. 对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以 -1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性. 定理12.5 正项级数 un 收敛的充要条件是:部分和 { } 数列 Sn 有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有 . S M n
证由于u, >0(i=1,2,),所以{Sn是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理）.这就证明了定理的结论仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收敛性判别法则前页后页返回
前页 后页 返回 = 0( 1,2, ), 证 由于 u i i 所以{Sn }是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界 定理).这就证明了定理的结论. 仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则
定理12.6(比较原则）设u，和，是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切 n>N都有(1)u, ≤Vn则(i)若级数乙,收敛,则级数u,也收敛;(ii)若级数un发散,则级数v,也发散证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立返回前页后页
前页 后页 返回 定理12.6 设 和 是两个正项 u v n n (比较原则) 级数, 如果存在某正数N, 对一切 n > N 都有 (1) u v n n 则 (i) , ; n n 若级数 收敛 则级数 也收敛 v u (ii) , . 若级数 发散 则级数 也发散 u v n n 证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立
现在分别以S，和S"记级数u,与Zv,的部分和由(1)式可得,对一切正整数n，都有(2)S,0界,由定理12.5级数》u，收敛，这就证明了(i)(i)为(i)的逆否命题，自然成立后页返回前页
前页 后页 返回 现在分别以 和 记级数 与 的部分和. S S u v n n n n 由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有 (2) S S n n , lim , n n n v S → 若 收敛 即 存在 则由(2)式对一切 n 有 un n n lim n S S → { } Sn , 即正项级数 的部分和数列 有 界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i). (ii)为(i)的逆否命题,自然成立
1的收敛性。Z-例1 考察2n-n+1解 由于当n≥2时,有111n2-n+i"n'-nn(n-1)81?因为正项级数收敛(S1例5的注),故由n(n-1)n=21E也收敛比较原则和定理12.3,级数n-n+1后页返回前页
前页 后页 返回 例1 − + 2 1 . n n 1 考察 的收敛性 解 由于当 时 有 n 2 , 2 2 1 1 1 . n n n n n n 1 ( 1) = − + − − 因为正项级数 2 1 ( 1) n n n = − 收敛 (§1例5的注), 故由 比较原则和定理12.3, 级数 2 1 n n − +1 也收敛
例2若级数u，乙v收敛,则级数un，收敛证因为lu,飞u,+，而级数u,收敛，根据比较原则,得到级数u,，收敛在实际使用上，比较原则的极限形式通常更方便Zun，Zyn是两个)设推论(比较原则的极限形式)正项级数，若u(3)lim-n =n-→ V.n则后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 , , 例2 若级数 u v u v n n n n 收敛 则级数 收敛. 2 2 | | u v u v n n n n + 2 2 , 证 因为 , 而级数 u v n n 收敛， 根据比较原则, 得到级数 u vn n 收敛. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. , 推论 (比较原则的极限形式) 设 u v n n 是两个 正项级数,若 lim , (3) n n n u l → v = 则
(i)当0N时,恒有Wn<8Vn或(4)(l-)vn<un<(l +)vn后页返回前页
前页 后页 返回 (i) 0 , ; n n 当 时 级数 , 同敛散 + l u v (ii) 0 , ; n n 当 且级数 收敛时 级数 也收敛 l v u = (iii) , . n n 当 且级数 发散时 级数 也发散 l v u = + 证 (i) 由(3) 对任给正数 l, 存在某正数N, 当 n > N时,恒有 − n n u l v 或 ( ) ( ) . (4) n n n l v u l v − +
Zun由比较原则及(4)式得,当0N时,都有un>1或u,>Vn4于是由比较原则知道，若级数乙"发散，则级数Zu,也发散后页返回前页
前页 后页 返回 当 0 + l 由比较原则及(4)式得, 时, 级数 un 与 n v 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). (ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若 n v 级数 收敛, 则级数 un 也收敛. (iii) , 若l = + 则对于正数1, 存在相应的正数N,当 n > N 时, 都有 1 . n n n n u u v v 或 于是由比较原则知道, 若级数 n v 发散, 则级数 un 也发散
1Z例3 级数是收敛的，因为2"-n12"12" - n= limlim1n2"-nn->00n->002"2"以及等比级数收敛，根据比较原则的极限形21也收敛.式，级数2"-n后页返回前页
前页 后页 返回 例3 级数 − 1 2 n n 是收敛的, 因为 → → → − = = = − − 1 2 1 2 lim lim lim 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n n n 以及等比级数 1 2 n 收敛, 根据比较原则的极限形 1 2 n − n 式, 级数 也收敛