第六章共形映射(The Conformal mapping)第一讲授课题目：S6.1共形映射的概念：86.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性。学时安排：2学时，教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合，作业布置：P164习题六：1-3板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；1
1 第六章 共形映射 （The Conformal mapping） 第一讲 授课题目：§6.1 共形映射的概念；§6.2 共形映射的基本问题 教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域 性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性. 学时安排：2 学时. 教学目标：1、理解导数的几何意义； 2、弄清共形映射的概念； 3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映 射的存在唯一性； 教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学方式：多媒体与板书相结合. 作业布置： P164 习题六：1-3 板书设计：一、导数的几何意义； 二、共形映射的概念； 三、解析函数的保域性与边界对应原理； 四、共形映射的存在唯一性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出 版社； 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等 教育出版；
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理：教学过程：2
2 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教 育出版社，2008 年 4 月 课后记事：1、基本掌握共形映射的概念； 2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理； 教学过程：
36.1共形映射的概念(The conceptionof conformalmapping)一、导数的几何意义（Geometricmeaningofderivative）1、解析变换的保域性（Transformdomainofsecurityanalysis)解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质注1：单叶函数是一个单射的解析函数例1函数w=z+α及w=z是=平面上的单叶解析函数它们把=平面映射成w平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射α0.例2w=e"在每个带形a<Imz<a+2元,内单叶解析，并且把这个带形区域映射成w平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a是任意实常数引理（Lemma）：设函数f(z)在z=z。解析，并且w。=f(zo）设 f(zo)= f"(zo)=..= f(p-I(zo)=0, f(P)(=o)+0(p=1,2,3...),那么f(=)-w在z。有p阶零点，并且对充分小的正数p，存在着一个正数μ，使得当0w-wμ时，f(z)-w在0z-zp内有P个一阶零点3
3 §6.1 共形映射的概念 (The conception of conformal mapping) 一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative） 1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis） 解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的 概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多 领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空 气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许 多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质. 注 1：单叶函数是一个单射的解析函数. 例 1 函数 w = z + 及 w=z 是 z 平面上的单叶解析函数它 们把 z 平面映射成 w 平面，其中 是复常数，并且对于第二个映 射 0. 例 2 z w = e 在每个带形 a Im z a + 2 , 内单叶解析，并且 把这个带形区域映射成 w 平面上除去从原点出发的一条射线而 得的区域，其中 a 是任意实常数. 引理（Lemma）：设函数 f (z) 在 0 z = z 解析，并且 ( ) 0 0 w = f z . 设 '( ) ''( ) . ( ) 0, ( ) 0( 1,2,3.) 0 ( ) 0 ( 1) 0 = 0 = = = = − f z f z f z f z p p p ，那 么 0 f (z) − w 在 0 z 有 p 阶零点，并且对充分小的正数 ，存在着一 个正数 ，使得当 0 | w− w0 | 时， f (z) − w 在 0 | z − z0 | 内 有 p 个一阶零点
证明：由已知条件可知f(=)-w在z有p阶零点.由于f(=)不恒等于零，作以z为心的开圆盘D1z-zp，其边界为C使得f(=)在D=DUC上解析，并且使得f(z)-w及f(z)除去Z=2。外在D上无其它零点.有min 1f(z)-woμ>0取w，使0w-wμ.由儒歇定理，比较f(z)-w及f(=)-wo在内D的零点的个数.由于f(2)-w=(f(=)-wo)+(w -w)而当zEC时If()-wμ>-w0可见f(=)-w及f(=)-W在D内的零点个数同为p（每个n阶零点作n个零点）.因为，所以z20，而[(2)-W[=±0所以f(=)-w在D内的每个零点都是一阶的由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数f(=)在区域D内单叶解析，则VzeD,有f(=)0注2：这个定理的逆定理不成立，例如w=e的导数在z平面上任意一点不为零，而w=e在整个z平面上不是单叶的4
4 证明：由已知条件可知 0 f (z) − w 在 0 z 有 p 阶零点.由于 f (z) 不恒等于零，作以 0 z 为心的开圆盘 D :| z − z0 | ，其边界为 C ， 使得 f (z) 在 D = D C 上解析，并且使得 0 f (z) − w 及 f (z) 除去 0 z = z 外在 D 上无其它零点.有 min | ( ) − 0 |= 0 f z w z C 取 w ，使 0 | w− w0 | .由儒歇定理，比较 f (z) − w 及 0 f (z) − w 在内 D 的零点的个数.由于 ( ) ( ( ) ) ( ), f z − w = f z − w0 + w0 − w 而当 zC 时 | ( ) | | | 0, f z − w0 w0 − w 可见 f (z) − w 及 0 f (z) − w 在 D 内的零点个数同为 p（每个 n 阶零 点作 n 个零点）.因为 w w0 ，所以 0 z z ，而 [ ( ) ]' 0 0 − z z f z w . 所以 f (z) − w 在 D 内的每个零点都是一阶的. 由此引理可证明下面定理 定理(Theorem)6.1、设函数 f (z) 在区域 D 内单叶解析，则 z D ，有 f '(z) 0. 注 2：这个定理的逆定理不成立，例如 z w = e 的导数在 z 平 面上任意一点不为零，而 z w = e 在整个 z 平面上不是单叶的
定理(Theorem)6.2设函数w=f(=)在z=z。解析，并且f"(zo)±0，那么f(=)在z。的一个邻域内单叶解析.定理（Theorem)6.3设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，则D,=f(D)是一个区域.注3：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D双射成区域f(D).于是f(=)有一个在f(D)内确定的反函数z=(w).定理（Theorem)6.4设函数f(2)在区域D内单叶解析，则w=f(z)在f(D)内存在单叶解析的反函数z=(w)，且1p'(w) =F(日)证明：考虑以下思路：Vwf(D)，有VzDp(w)-p(w)_ z-z0/w-Wow-wow-Wo-Z0因为当w→w时，≥=p(w)→z。=(=)，所以1f(=)-f(=o)lim (w) -0(wo)w-Woimlimf'(zo)w-Wo→36Z-20Z即可给出定理的证明2、导数的几何意义（Geometricmeaningofderivative)设函数w=f(-)是区域D内的单叶解析函数5
5 定 理 (Theorem)6.2 设函数 w = f (z) 在 0 z = z 解析，并且 f '(z0 ) 0 ，那么 f (z) 在 0 z 的一个邻域内单叶解析. 定理(Theorem)6.3 设函数 w = f (z) 在区域 D 内解析，并且 不恒等于常数，则 ( ) D1 = f D 是一个区域. 注 3：如果 w = f (z) 在区域 D 内单叶解析，根据定理 6.3， 它把区域 D 双射成区域 f (D) .于是 f (z) 有一个在 f (D) 内确定 的反函数 z = (w) . 定理(Theorem)6.4 设函数 f (z) 在区域 D 内单叶解析，则 w = f (z) 在 f (D) 内存在单叶解析的反函数 z = (w) ，且 . '( ) 1 '( ) f z w = 证明：考虑以下思路： ( ) w0 f D ，有 z0 D 1 , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z z w w w w z z w w w w − − = − − = − − 因为当 w → w0 时， ( ) ( ) 0 0 z = w → z = z ，所以 , '( ) ( ) ( ) 1 1 lim 1 lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z f z f z f z z z w w w w w w w w z z z z = − − = − − = − − → → → 即可给出定理的证明. 2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative) 设函数 w = f (z) 是区域 D 内的单叶解析函数
z。ED,w=f(=).则有f(=）±0.过z。作一条简单光滑曲线C：z=z(t)=x(t)+iy(t) (a≤t≤b)z(to) = zo (to E[a,b)).=2()=x()+iy ()dt则=(to）存在，且=(to）±0作过曲线C上点zo=z(to)及z=z(t)的割线，割线的方向向量为%，当t趋近于1。时，向量二与实轴的夹角arg二%存t-tot, -tot,-to在极限，即为曲线C在z=2。的切线的位置.已知lim 3% = 2(6) ± 0,11→to t, - to所以，有lim arg 二0 = arg=(0),1→o4-to这就是曲线C在z。=z(t）处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的函数w=f(=)把简单光滑曲线C映射成一条简单曲线T：w=f(z(t)(t。≤t≤t)由于w(t=f"(z(t。))=(t。)，可见r也是一条光滑曲线；它在wo的切线与实轴的夹角是6
6 , ( ) 0 0 0 z D w = f z .则有 f '(z0 ) 0 .过 0 z 作一条简单光滑曲线 C ： z = z(t) = x(t) + iy(t) (a t b), ( ) ( [ , ]) z t 0 = z0 t 0 a b . z'(t) x'(t) iy'(t) dt dz = = + 则 ( ) 0 z t 存在，且 z (t 0 ) 0 作过曲线 C 上点 ( ) 0 0 z = z t 及 ( ) 1 1 z = z t 的割线，割线的方向向量为 1 0 1 0 t t z z − − ，当 1 t 趋近于 0 t 时，向量 1 0 1 0 t t z z − − 与实轴的夹角 1 0 1 0 arg t t z z − − 存 在极限，即为曲线 C 在 0 z = z 的切线的位置.已知 lim '( ) 0, 0 1 0 1 0 1 0 = − − → z t t t z z t t 所以，有 lim arg arg '( ), 0 1 0 1 0 1 0 z t t t z z t t = − − → 这就是曲线 C 在 ( ) 0 0 z = z t 处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连 续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的. 函数 w = f (z) 把简单光滑曲线 C 映射成一条简单曲线 ： ( ( )) ( ), 1 w f z t t t t = o 由于 ( ) '( ( )) '( ) 0 0 0 w t = f z t z t ，可见 也是一条光滑曲线；它在 w0 的切线与实轴的夹角是
argw(t。)= arg f'(=(to)z'(to)= arg f'(z(to) +arg z'(to),因此，「在wo处切线与实轴的夹角及C在z.处切线与实轴的夹角相差arg=(t).注4：这里的arg=(t。）与曲线C的形状及在z。处切线的方无关.Zo + zWowo+AwPo另外在0uxD 内过20另有一条简单光滑曲线C:z=z()，函数w=f(=)把它映射成一条简单光滑曲线：w=f(z().和上面一样，C,与在z及w处切线与实轴的夹角分别是argz(t）及argf'(z,(to)=,'(to)=argf'(z(to))+argz'(to))所以，在w处曲线r到曲线的夹角恰好等于在z处曲线C到曲线C的夹角：arg f(z(to))z(to)-arg f'((to))z(to)=arg-'(to)-argz(to)因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保7
7 arg ( ) arg '( ( )) '( ) arg '( ( )) arg '( ), 0 0 0 0 0 w t = f z t z t = f z t + z t 因此， 在 w0 处切线与实轴的夹角及 C 在 0 z 处切线与实轴的夹 角相差 arg '( ) 0 z t . 注 4：这里的 arg '( ) 0 z t 与曲线 C 的形状及在 0 z 处切线的方无 关. 另外在 D 内 过 0 z 另 有 一条简单光滑曲线 : ( ) 1 1 C z = z t ，函数 w = f (z) 把它映射成一条简 单光滑曲线 : ( ( )) 1 1 w= f z t .和上面一样， C1 与 1 在 0 z 及 w0 处切 线与实轴的夹角分别是 arg '( ) 1 0 z t 及 arg '( ( )) '( ) arg '( ( )) arg '( ), 1 0 1 0 1 0 1 0 f z t z t = f z t + z t 所以，在 w0 处曲线 到曲线 1 的夹角恰好等于在 0 z 处曲线 C 到 曲线 C1 的夹角： arg '( ( )) '( ) arg '( ( )) '( ) arg '( ) arg '( ), 1 0 1 0 0 0 1 0 0 f z t z t − f z t z t = z t − z t 因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保 0 z 0 w0 + w y x z + z 0 0 v u w0 C
持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性下面再说明它的模的几何意义.因为1F(=0)F lim [F(C)- f(0)]Iz - 2o 1→=0由于1(=)是比值的极限，它可以近似地表示这I - 20 种比值.在w=f(2)所作映射下，[z-z。1及If(2)-f(=)I分别表示z平面上向量=-z及w平面上向量f(=)-f(z）的长度，这里向量z-z及f(=)-f(=)的起点分别取在z及f(=).当较小[z-z时，1()-f(=)/近似地表示通过映射后，(=)-f(z)对=-=。1的伸缩倍数，而且这一倍数与向量z-z。的方向无关.我们把f（z）称为在点z.的伸缩率从几何直观上来看.设w=f(=)是在区域D内解析的函数，zoED,W=f(=)zED,(=)0，那么W=f(2)把z平面上半8
8 持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性. 下面再说明它的模的几何意义.因为 , | | | ( ) ( ) | | '( ) | lim 0 0 0 0 z z f z f z f z z z − − = → 由于 | '( )| 0 f z 是比值 | | | ( ) ( ) | 0 0 z z f z f z − − 的极限，它可以近似地表示这 种比值.在 w = f (z) 所作映射下， | | 0 z − z 及 | ( ) ( )| 0 f z − f z 分别表 示 z 平面上向量 0 z − z 及 w 平面上向量 ( ) ( ) 0 f z − f z 的长度，这里 向量 0 z − z 及 ( ) ( ) 0 f z − f z 的起点分别取在 0 z 及 ( ) 0 f z .当较小 | | 0 z − z 时， | ( ) ( )| 0 f z − f z 近似地表示通过映射后， | ( ) ( )| 0 f z − f z 对 | | 0 z − z 的伸缩倍数，而且这一倍数与向量 0 z − z 的方向无关. 我们把 | '( )| 0 f z 称为在点 0 z 的伸缩率. 从几何直观上来看.设 w = f (z) 是在区域 D 内解析的 函数， z0 D,w0 = f (z0 ),z0 D, f '(z0 ) 0 ，那么 w = f (z) 把 z 平面上半 C' 1 1 y x z0 0 C v u w0 0 1 −0 1 −0 1
径充分小的圆|=-=。p近似地映射成w平面上圆w-WoHf'(=0)Ip(0<p<+00)因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性，二、共形映射的概念（Theconceptofconformalmapping）定义(Definition)6.1对于区域D内的映射w=f(=)，如果它在区域D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射W=f(z)是第一类保角映射；如果它在区域D内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射w=f(a)是第二类保角映射定理（Theorem)6.5如w=f(=)在区域D内解析，且(z)±0则w=f(z)所构成的映射是第一类保角映射定义(Definition)6.2设w=f(=)是区域D内的第一类保角映射，如果当zz2时，有f(z)+f(22)，，则称f(2)为共形映射.例lw=e"在复平面上解析，且（e）=e￥0，因此e在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域0<Imz<4元内，W=e构成共形映射s6.2共形映射的基本问题(Thebasicproblemofconformalmapping)一、共形映射的基本问题（Thebasicproblemofconformal
9 径充分小的圆 | z − z0 |= 近似地映射成 w 平面上圆 | | | '( ) | (0 ), w− w0 = f z0 + 因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩 率不变性. 二、共形映射的概念(The concept of conformal mapping) 定义(Definition)6.1 对于区域 D 内的映射 w = f (z) ，如果 它在区域 D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射 w = f (z) 是第一类保角映射；如果它在区域 D 内任意一点保持曲 线的交角的大小不变，则称映射 w = f (z) 是第二类保角映射. 定 理 (Theorem)6.5 如 w = f (z) 在区域 D 内 解 析 ， 且 f (z) 0 则 w = f (z) 所构成的映射是第一类保角映射. 定义(Definition)6.2 设 w = f (z) 是区域 D 内的第一类保角 映射，如果当 1 2 z z 时，有 ( ) 1 2 f (z ) f z ，则称 f (z) 为共形映 射. 例 1 z w = e 在复平面上解析，且 ( ) = 0 z z e e ，因此 z e 在任 何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射， 而在区域 0 Imz 4 内， z w = e 构成共形映射. §6.2 共形映射的基本问题 (The basic problem of conformal mapping) 一、共形映射的基本问题(The basic problem of conformal
mapping)对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题问题一对于给定的区域D和定义在D上的解析函数の=f()，求像集G=f(D)，并讨论f()是否将D共形的映射为G.问题二给定两个区域D和G，求一解析函数の=f()，使得f(-)将D共形的映射为G对于问题二，我们只需考虑能把D变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数=f()把D变为<1，而函数=g()把G变为<1，则の=g-(f(=)把D映射为G（下图）：=f(2)= g()D≤<10=g-()(a)(6)(c)二、解析函数的保域性与边界对应原理（Analyticfunctions of protection domain and the boundarycorrespondenceprinciple)对于问题一，有下面两个定理定理（Theorem)6.6（保域性定理）设函数f(-)在区域D内10
10 mapping) 对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题. 问题一 对于给定的区域 D 和定义在 D 上的解 析函数 = f (z) ，求像集 G = f (D) ，并讨论 f (z) 是否将 D 共形的映射为 G . 问题二 给定两个区域 D 和 G ，求一解析函数 = f (z) ，使 得 f (z) 将 D 共形的映射为 G . 对于问题二，我们只需考虑能把 D 变为单位圆内部即可.这是因 为若存在函数 = f (z) 把 D 变为 1 ，而函数 = g() 把 G 变 为 1 ，则 g (f (z)) −1 = 把 D 映射为 G （下图）. 二 、 解 析 函数 的保域性与边界对应原理(Analytic functions of protection domain and the boundary correspondence principle ) 对于问题一，有下面两个定理. 定理(Theorem)6.6（保域性定理） 设函数 f (z) 在区域 D 内