试卷三参考答案一、判断题（正确的打“/”，错误的打“×”每题2分，共20分）1、2X3、V4、V5、×6、×7、8、V9、×10、二、填空题（每题2分，共20分）21、:4In5+i2、arctan+元3-u(x,y)3、4、2元ie?;5、16、-17、Res[r(-),0]= -Res ]8、hw-1=1 ;9、F[r(t-to)l=e-joto F(o)s10、4+s21
1 试卷三参考答案 一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”每题 2 分，共 20 分） 1、√ 2 、 × 3、√ 4、√ 5、× 6、× 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1、 2 ； 2、 + − + 3 4 l n 5 i arctan ； 3、 − u(x, y) 4、 2 2ie ； 5、 1 ； 6、 -1 ； 7、 ( ) = − ,0 1 1 Re , Re 2 z z s f z s f ； 8、 w −1 =1 ； 9、ℱ ( ) () f t t e F j t0 0 − − = ； 10、 2 4 s s +
三、求解下列各题（每题5分，共30分）1、解f(-)的定义域是在=平面上除去z=0的区域，当=±0时，设z=r(cos+isin )则 f()= cos(-20)+isin(-20)-------2分考虑从z=0出发方向角为6.的射线1，有lim f(-)= cos(-20.)+isin(-2%)---4分0--5分对于不同的，上述极限不相同，所以在z=0，f(-)不存在极限。a"ua'uQu =2x+2y,ou = -2y+2x,=2;2、解：（1)-2ax?y?axay在z平面有+u=0故u(x,)是调和函数。-2分ax?ay?(2）利用C一R条件，先求出v(x,y)的两个偏导数。owv -- u - -2x +2yoy_Qu=2x+2yax"ayayax则(2y-2x)dx+(2x+2y)dy+C(x, y) = [= J。(-2x)dx+J。(2x + 2y)dy+C=-x? +2xy+ y? +C------4分f(2)=(x? - y? +2xy)+i(-x2 +2xy+ y? +C)=(1-i)22 +iC由 f(i)=-1+2i=i-1+iC=-1+2i=C=1故f(2)=(1-i)= +i-5分103、解：不在C内，有本性奇点z=0，由留数定理：10-2分原式=2元iRes.012
2 三 、求解下列各题（每题 5 分，共 30 分） 1、解 f (z) 的定义域是在 z 平面上除去 z = 0 的区域,当 z 0 时， 设 z = r(cos + isin) 则 f (z) = cos(− 2)+isin(− 2) -2 分 考虑从 z = 0 出发方向角为 0 的射线 l ，有 ( ) = → f z z l z 0 lim ( ) ( ) 0 2 0 cos − 2 + isin − -4 分 对于不同的 0，上述极限不相同，所以在 z = 0 ， f (z) 不存在极限。-5 分 2、解：（1） 2 2 , 2 2 2 = = + x u x y x u ； 2 2 , 2, 2 2 = − = − + y u y x y u 在 z 平面有 0 2 2 2 2 = + y u x u 故 u(x, y) 是调和函数。-2 分 （2）利用 C—R 条件，先求出 v(x, y) 的两个偏导数。 x y x u y v x y y u x v 2 2 = 2 + 2 = = − + = − 则 v x y y x dx x y dy C x y = − + + + ( , ) (2 2 ) (2 2 ) ( , ) (0, 0) = − + + + x y x dx x y dy C 0 0 ( 2 ) (2 2 ) = −x + xy+ y +C 2 2 2 -4 分 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 f z = x − y + x y + i −x + x y + y +C 2 = − + (1 )i z iC 由 f (i) = −1+ 2i i −1+ iC = −1+ 2i C = 1 故 f z = − i z + i 2 ( ) (1 ) -5 分 3、解: 在 C 内， z e z 1− 1 有本性奇点 z = 0 ，由留数定理： 原式 , 0]} 1 2 {Re [ 1 z e i s z − = -2 分
1内将在 0<=k展为Laurent级数：21-ze.111+=+z-..21=2n!="Z11-3分1+2!3!n!11-故：Res[ 0]=1+=e-l2!3!n!!e"-5分dz=2元i(e-1)4、解：在1<<2内，有222z+512f(-)2分(2-2)(-2 +1)-2-222+11211-3分1+121-=222()-2(-)1"+2(-1)（(1<<2)---5分m=021+/n=l5、解：由于z=0,2-5是f(=)的一阶极点，有113分Res[f(=),0] = lim f(=) = lim100 (= -2)(= + 5)0114分Res[f(-),2] = lim(= - 2)f(=) = lim1422(2+5)I15分Res[f(-),-5] = lim (= + 5)f(z) = lim-5 2(2 -2) 356、解：令z=rei，则r<1,0<0<元-2分-? =r2e2i0 = pe'g,3
3 在 2 1 0 | z | 内将 z e z 1− 1 展为 Laurent 级数： ) ! 1 2! 1 1 (1 )(1 1 2 2 1 = + + ++ + + + ++ + − n n z z z n z z z z z e = + + ++ +) + ! 1 3! 1 2 ! 1 (1 1 z n -3 分 故： 1 ! 1 3! 1 2 ! 1 , 0] 1 1 Re [ 1 = + + + + + = − − e z n e s z = = − 2 − 1 | | 1 2 ( 1) z 1 z dz i e z e -5 分 4、解：在 1 z 2 内，有 ( )( ) ( ) ( ) 分 分 分 1 2 5 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 - 2 1 2 2 1 1 2 5 ( ) 1 2 0 1 0 2 2 0 2 2 2 2 2 = − + − − − − − − − − = − − − − − − − + − − = − − − − − + − − = − + − + = = = + = = n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z z z f z 2 5、解：由于 z = 0,2 − 5 是 f (z) 的一阶极点，有 ( ) ( )( ) 10 1 2 5 1 Res[ ,0] lim ( ) lim 0 0 = − − + = = → → z z f z zf z z z -3 分 ( ) ( ) 14 1 5 1 Res[ ,2] lim ( 2) ( ) lim 2 2 = + = − = → → z z f z z f z z z -4 分 ( ) ( ) 35 1 2 1 Res[ , 5] lim ( 5) ( ) lim 5 5 = − − = + = →− →− z z f z z f z z z -5 分 6、解：令 i z = re ，则 r 1, 0 -2 分 i i z = r e = e 2 2 2
3分p=r2<1, 0<=20<2元故w==将上半单位圆域映射为|wk1且沿0到1的半径有割痕5分四、求下列函数的积分变换（8分+7分，共15分）1、解: (1) F(o)=[f()]- f(-j'dt = e/e-jat d ----2 分= e(-0) d = 2d(0 -0)= 2d(0-0)--3 分(2) F(0)=F[f()]-(e-io'dt = e-io" sin ofdt-he-(ev -e-mr /i----3分2["[e-i(o- -e-(+" t[el-) -- t=-j元[8(0。 -0)-8(-0 -0.)]---4分= j元[8(+0)-8(0-0)]------5分L(ejar +e罕（1）由于cosot=2、解2分-io有[()]=[cos ot]=[(ej)+ (e-jar)]----3分s-4分s+jo52+0io4
4 1, 0 2 2 2 = r = -3 分 故 2 w = z 将上半单位圆域映射为 | w | 1 且沿 0 到 1 的半径有割痕. -5 分 四、求下列函数的积分变换（8 分+7 分，共 15 分） 1、解：(1) F1 () = F f (t) 1 f (t)e dt e e dt jt j t − jt + − − + − = = 0 1 -2 分 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 0 = = − = − + − − e dt j t -3 分 (2) F2 () = F f (t) 2 f (t)e dt e tdt j t j t + − − − + − = 2 = 0 sin e (e e )dt j j t j t j t + − − − = − 0 0 2 1 -3 分 ( ) ( ) e e dt j j t j t + − − − − + = [ − ] 2 1 0 0 ( ) ( ) [ ( ) (- )] 4分 [ ] 2 0 0 0 0 = − − − − − − − − − = − − + − − − − j e e dt j j t j t [ ( ) ( )] = +0 − −0 j -5 分 2、解 （1） 由于 ( ), 2 1 cos j t j t t e e − = + ℒ s j e j t − = 1 -2 分 有 ℒ f 1 (t)= ℒ 2 1 cost = [ℒ ( ) j t e +ℒ ( ) j t e − ]-3 分 = 2 2 1 1 2 1 + = + + − s s s j s j -4 分 -1 1 x y 2 w = z 1 -1 u v -i i
(2) [()]=[cos?]-[1+ cos21]----2 分[ ()+ (cos2t)]s2+217S(+*+4)-)-3分1/五、实验题（每题3分，共15分）1、解-1分syms z;f=z*exp(z)/(sin(z));-----2分-3分limit(f, z, 0)----2、解-1分syms z;f=1/ (1-z) ; ------2 分taylor(f,z,0,7)------3分（或taylor（f,z，7)）3、解syms t z;z=2*cos(t)+i*2*sin(t);------1分f=1/((z)~2-6*(z)+9);--2分--3分inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)-4、解-1分symstwaf=exp(-t2)*cos(a*t);-2分g=exp(-t^2)*sin(a*t);F=simple(fourier(f))G=simple(fourier(g)）------3分5、解-1分symst s a;F=(s~2-a~2)/(s~2+a~2)~2; -----2分f=ilaplace (F)-----3 分-5
5 （2）ℒ f 2 (t)= ℒ 2 1 cos2 t = ℒ 1+ cos2t-2 分 2 1 = [ℒ (1) +ℒ (cos2t) ] ( 4) 2 4 1 2 1 2 2 2 + + = + = + s s s s s s -3 分 五、实验题（每题 3 分，共 15 分） 1、解 syms z;-1 分 f=z*exp(z)/(sin(z)); -2 分 limit(f,z,0)-3 分 2、解 syms z ; -1 分 f=1/(1-z); -2 分 taylor(f,z,0,7) -3 分(或 taylor(f,z,7)) 3、解 syms t z; z=2*cos(t)+i*2*sin(t); -1 分 f=1/((z)^2-6*(z)+9);-2 分 inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)-3 分 4、解 syms t w a -1 分 f=exp(-t^2)*cos(a*t); g=exp(-t^2)*sin(a*t); -2 分 F=simple(fourier(f)) G=simple(fourier(g)) -3 分 5、解 syms t s a；-1 分 F=(s^2-a^2)/(s^2+a^2)^2; -2 分 f=ilaplace(F) -3 分