*第七章解析函数在平面场的应用(Analysis function applying in theplanefield)第一讲授课题目：$7.1复势的概念S7.2复势的应用67.3用共形映射方法研究平面场教学内容：用复变函数表示平面向量场、复势、流体力学中的复势、热流场中的复势、静电场中的复势。用共形映射方法研究平面场学时安排：2学时教学目标：1、正确理解复势的概念2、正确理解复数表示平面向量场3、了解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用4、了解共形映射方法研究平面场教学重点：1、复势的概念2、复数表示平面向量场教学难点：共形映射方法研究平面场教学模方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题7.1、7.2、7.3、7.4、7.51
1 *第七章 解析函数在平面场的应用 （Analysis function applying in the plane field） 第一讲 授课题目：§7.1复势的概念 §7.2复势的应用 §7.3 用共形映射方法研究平面场 教学内容：用复变函数表示平面向量场、复势、流体力学中的复 势、热流场中的复势、静电场中的复势。用共形映射方法研究平 面场 学时安排：2学时 教学目标：1、正确理解复势的概念 2、正确理解复数表示平面向量场 3、了解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用 4、了解共形映射方法研究平面场 教学重点：1、复势的概念 2、复数表示平面向量场 教学难点：共形映射方法研究平面场 教学模方式：讲授法、图形类比法、演绎法 作业布置：习题7.1、7.2、7.3、7.4、7.5
板书设计：一、复势的概念二、复势的应用三、用共形映射方法研究平面场主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003；3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000；课后记：1、复势在流体力学、热流场、静电场中的应用，不能正确掌握；2、共形映射方法研究平面场，不能正确掌握；教学过程：在历史上，复变函数的发生和发展是和应用相联系的，例如，达朗贝尔及欧拉由流体力学导出了著名的柯西-黎曼条件；茹科夫斯基应用复变函数证明了关于飞机机翼升力的公式并且这一重要的结果反过来推动了复变函数的研究江程中不规则几2
2 板书设计：一、复势的概念 二、复势的应用 三、 用共形映射方法研究平面场 主要参考资料： 1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育 出版社，1987； 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版 2003； 3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学 出版社，2000； 课后记： 1、复势在流体力学、热流场、静电场中的应用，不能 正确掌握； 2、共形映射方法研究平面场，不能正确掌握； 教学过程： 在历史上，复变函数的发生和发展是和应用相联系的，例 如，达朗贝尔及欧拉由流体力学导出了著名的柯西-黎曼条件； 茹科夫斯基应用复变函数证明了关于飞机机翼升力的公式，并且 这一重要的结果反过来推动了复变函数的研究；工程中不规则几
何体边界条件的研究，推动了保形变换的发展。复变函数的发展还和电磁学、热学、弹性力学、断裂力学等学科以及数学中的其他分支联系着。在这里，我们只讲述解析函数对平面场的应用特别是对稳定平面流场和静电场的应用。$7.1复势的概念(The Conception of the complexpotential)物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可以用相应的解析函数的性质来描述。如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。我们假设z=x+iy，对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表示(=)= A(x, y)+iA,(x,J)。例如：一个平面定常流速场可以用复变函数表示为V=v(2)=(x,y)+iv,(x,y)垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场的分布式相同的，可以表示为E=E(2)=E,(x,y)+iE,(x,y)。现在考虑不可压缩流体的平面稳定流动，所谓不可压缩流体，是3
3 何体边界条件的研究，推动了保形变换的发展。复变函数的发展 还和电磁学、热学、弹性力学、断裂力学等学科以及数学中的其 他分支联系着。在这里，我们只讲述解析函数对平面场的应用， 特别是对稳定平面流场和静电场的应用。 §7.1复势的概念 (The Conception of the complex potential) 物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用解析函数来描述，这 种平面场的物理现象，可以用相应的解析函数的性质来描述。 如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。 我们假设 z x iy = + ，对平面上的任意点，可以用一个解析函数来 表示 ( ) ( , ) ( , ) x y z A x y iA x y = + 。 例如：一个平面定常流速场可以用复变函数表示为 ( ) ( , ) ( , ) x y v v z v x y iv x y = = + 垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场的分布式 相同的，可以表示为 ( ) ( , ) ( , ) E E z E x y iE x y = = + x y 。 现在考虑不可压缩流体的平面稳定流动，所谓不可压缩流体，是
指密度不因压缩而改变的流体，平面流动是指在流动中，垂直于某一平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与已知平面平行。稳定流动是指在流动中，各质点的速度只与各质点的位置有关。定义7.1曲线积分N。=」A,ds称为向量场通过曲线的流量。其中A,ds=A(x,y)dy-A,(x,y)dx。如果N。=0，则存在函数v(x,J），使d(v(x,J) = A,(x,y)dy- A,(x, y)dx = 0那么称v(x,y)为向量场A(x,y)的流函数定义7.2曲线积分T。=JA(x,y)ds=A.(x,y)dx+A,(x,y)dy称为向量场沿曲线的环量。如果T。=0，则存在函数u(x,J)，使d(u(x,y)= A(x,y)dy + A,(x, y)dx那么称u(x,y)为向量场A(x,Jy)的势函数所以在无源无旋场中，流函数v(x,Jy)是势函数u(x,y)的共轭调和函数，因此可以做一解析函数f()=u(x,y)+i"(x,y），称此解析函数为向量场的复势。$7.2复势的应用4
4 指密度不因压缩而改变的流体，平面流动是指在流动中，垂直于 某一平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与已知平面平 行。稳定流动是指在流动中，各质点的速度只与各质点的位置有 关。 定义7.1 曲线积分 c n c N A ds = 称为向量场通过曲线的流量。 其中 ( , ) ( , ) A ds A x y dy A x y dx n x y = − 。 如果 0 Nc = ，则存在函数 v x y ( , ) ，使 ( ( , )) ( , ) ( , ) 0 x y d v x y A x y dy A x y dx = − = 那么称 v x y ( , ) 为向量场 A x y ( , ) 的流函数。 定义7.2 曲线积分 ( , ) ( , ) ( , ) c s x y c c = = + A x y ds A x y dx A x y dy 称 为向量场沿曲线的环量。 如果 0 = c ，则存在函数 u x y ( , ) ，使 ( ( , )) ( , ) ( , ) y d u x y A x y dy A x y dx = + 那么称 u x y ( , ) 为向量场 A x y ( , ) 的势函数。 所以在无源无旋场中，流函数 v x y ( , ) 是势函数 u x y ( , ) 的共轭调 和函数，因此可以做一解析函数 f z u x y iv x y ( ) ( , ) ( , ) = + ，称此解 析函数为向量场的复势。 §7.2 复势的应用
(Theapplicationofthecomplexpotential)例7.1试研究一平面流速场的复势为f(z)=az,(a>0)的速度、流函数和势函数。解：f(=)=az,(α>0)在整个复平面上解析，可以得到v=f()=α>0，说明场中任意点的流速方向为x轴正向;流函数为(x,)=ay，所以流线为=c势函数为p(x,J)=ax，所以等势线为x=C例7.2试研究以w=f(=)=2为复势的平面定常流速场。解：在任意z±0处，=f()=2z，流函数是(x,y)=2xy，所以流线为2xy=c，势函数为(x,)=x-y，等势线为x?-y2=C2。以上两个例子是复势在流体力学中的应用。在热力学的热传导理论中，已经证明，介质的热量与温度梯度称正比，和流体力学中的势函数一样，我们也可以构造热流场的复势：w=f(-)=p(x,y)+ig(x,y)那么，p(x,y)称为温度函数（或势函数），(x,y)=c称为等温线；Φ(x,y)称为热流函数，Φ(x,y)=c,是热量流动所沿的曲线。5
5 (The application of the complex potential) 例7.1 试研究一平面流速场的复势为 f z az a ( ) , ( 0) = 的速度、 流函数和势函数。 解： f z az a ( ) , ( 0) = 在整个复平面上解析，可以得到 ' v f z a = = ( ) 0 ，说明场中任意点的流速方向为 x 轴正向； 流函数为 ( , ) x y ay = ，所以流线为 1 y c = 势函数为 ( , ) x y ax = ，所以等势线为 2 x c = 例7.2 试研究以 2 w f z z = = ( ) 为复势的平面定常流速场。 解：在任意 z 0 处， ' v f z z = = ( ) 2 ，流函数是 ( , ) 2 x y xy = ，所 以流线为 1 2xy c = ，势函数为 2 2 ( , ) x y x y = − ， 等势线为 2 2 2 x y c − = 。 以上两个例子是复势在流体力学中的应用。 在热力学的热传导理论中，已经证明，介质的热量与温度梯度称 正比，和流体力学中的势函数一样，我们也可以构造热流场的复 势： w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) 那么， ( , ) x y 称为温度函数（或势函数）， 1 ( , ) x y c = 称为等温 线； ( , ) x y 称为热流函数， 2 ( , ) x y c = 是热量流动所沿的曲线
热流场可以用复变函数Q(z)=-kf(=)。在空间静电场中，我们也可以构造复势w=f(=)=p(x,y)+id(x,J)，其中dp(x,y) =-[E,(x,y)dx+ E,(x,y)dy]1d(x,y)=-E,(x,y)dx +E,(x,y)dy(x,y)称为力函数，w=(=)=g(x,y)+id(x,J)称为静电场的复势，是一个解析函数。例7.3求w=f(z)=22表示的电场解：等势线是(x,y)=2xy，电力线方程为为x2-y=C2。它们都是双曲线组。57.3用共形映射方法研究平面场(To study the plane field in Conformal mapping)在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映射的方法求得复势函数，方法是将已给的平面区域映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。例7.4设曲线由射线-00<x≤-R，中心在点z=0、半径为R上的半圆周以及射线R<x<+o所组成，不可压缩流体（无源也无6
6 热流场可以用复变函数 ' Q z k f z ( ) ( ) = − 。 在空间静电场中，我们也可以构造复势 w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) ，其中 ( , ) [ ( , ) ( , ) ] x y d x y E x y dx E x y dy = − + ， ( , ) ( , ) ( , ) y x d x y E x y dx E x y dy = − + 。 ( , ) x y 称为力函数， w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) 称为静电场的复 势，是一个解析函数。 例7.3求 2 w f z z = = ( ) 表示的电场。 解：等势线是 ( , ) 2 x y xy = ，电力线方程为为 2 2 2 x y c − = 。它们 都是双曲线组。 §7.3 用共形映射方法研究平面场 (To study the plane field in Conformal mapping) 在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映射的方法求 得复势函数，方法是将已给的平面区域映照为典型区域。而这些 典型区域各自对应着所考虑问题的类型。如速度场映射为上半平 面或带形区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。 例7.4 设曲线由射线 − − x R ，中心在点 z = 0 、半径为 R 上 的半圆周以及射线 R x + 所组成，不可压缩流体（无源也无
汇）在域G内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的！f()=80，求所产生的流速场。解求流速场的复势w=f（-）就要把区域G的边界映射为实轴把区域G映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成W= (=)= (a+b) +2(b-a)R +(a+b)R(c+d)z2 +2(d -c)Rz+(c+d)R2由于dw[=%0，f()=0，可以知道a+b0,c+d=0，dz所以W= Vo(2R’y令w=u+，可以知道=-+Ry故流线方程为v=C=-+例7.5设在射线x=0,y≥α上的电势为v，而在实轴上为零，求所产生的静电势。解：求静电场的复势，就是找函数w=f(a），使已知区域D共形映射为w平面上的带形区域w<Imw<v，而使射线、实轴分别与Imw=v,Imw=0对应，所以w=兰in-为所求的复势，它是区域内的单值函数，元+a?+az7
7 汇）在域 G 内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的 0 v ， f ( = ) ，求所产生的流速场。 解：求流速场的复势 w f z = ( ) ，就要把区域 G 的边界映射为实轴， 把区域 G 映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成。 2 2 2 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) a b z b a Rz a b R w f z c d z d c Rz c d R + + − + + = = + + − + + 由于 0 | 0 z dw v dz = = ， f ( = ) ，可以知道 a b c d + + = 0, 0 ， 所以 2 0 ( ) R w v z z = + 令 w u iv = + ，可以知道 2 2 2 R y v y x y = − + 故流线方程为 2 2 2 R y v c y x y = = − + 。 例7.5 设在射线 x y a = 0, 上的电势为 0 v ，而在实轴上为零，求 所产生的静电势。 解：求静电场的复势，就是找函数 w f z = ( ) ，使已知区域 D 共形 映射为 w 平面上的带形区域 0 w w v Im ，而使射线、实轴分别 与 0 Im , Im 0 w v w = = 对应，所以 2 2 0 2 2 ln v z a az w z a az + − = + + 为所求的复势，它是区域内的单值函数
用它可以求出静电场中的各量。本讲小结1、正确理解复势的概念2、正确理解复数表示平面向量场3、了解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用4、了解共形映射方法研究平面场8
8 用它可以求出静电场中的各量。 本讲小结 1、正确理解复势的概念 2、正确理解复数表示平面向量场 3、了解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用 4、了解共形映射方法研究平面场