《复变函数与积分变换》试卷十满分：100分考试时间：120分钟四二 五题号三总分一、判断题（每空2分，共20分）1、实数是复数的真子集，任何实数都是复数，复数不一定是实数，：个复数=成为实数的充要条件是z=0。（）2、任何复数的n次方根都有n个，这些n次方根在单位圆上，将单位圆等分，连接它们就可以构成单位圆上的正多边形。（）3、在工程实际中，许多物理现象都具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间获某一点出现，如脉冲电流等等，对于脉冲函数，有性质s(t)f(t)dt=f(O)称为筛选性质。（)1在≥=0处没有意义，z=0是它的孤立奇点，4、复变函数f(=)=1sin2而且是本性奇点。（）5、如果复变函数f(=)在区域D内解析（常数也是解析函数），则(-)的模在区域D的边界上取不到最大值和最小值，最值只能在区域D内取到，这)称为最大模原理。（IC,1则幂级数之。"6、幂级数的收敛半径计算公式r=lim，“”的收n-→[Cn+1 |n=敛半径为~2。（）
《复变函数与积分变换》 试卷十 满分：100 分 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 一、判断题（每空 2 分，共 20 分） 1、实数是复数的真子集，任何实数都是复数，复数不一定是实数，一 个复数 z 成为实数的充要条件是 z = 0 。（ ） 2、任何复数的 n 次方根都有 n 个，这些 n 次方根在单位圆上，将单位 圆等分，连接它们就可以构成单位圆上的正多边形。（ ） 3、在工程实际中，许多物理现象都具有一种脉冲特征，它们仅在某一 瞬间获某一点出现，如脉冲电流等等，对于脉冲函数，有性质 + − (t) f (t)dt = f (0) 称为筛选性质。（ ） 4、复变函数 z f z 1 sin 1 ( ) = 在 z = 0 处没有意义， z = 0 是它的孤立奇点， 而且是本性奇点。（ ） 5、如果复变函数 f (z) 在区域 D 内解析（常数也是解析函数），则 f (z) 的模在区域 D 的边界上取不到最大值和最小值，最值只能在区域 D 内取到，这 称为最大模原理。（ ） ６、幂级数的收敛半径计算公式 | | | | lim +1 → = n n n C C r ，则幂级数 =1 4 n n ni e z 的收 敛半径为 2 。（ ）
7、共性映射是复变函数一个很重要的内容，而分式线性变换是最简单的共性映射，分式线性变换把圆周变成圆周，具有保圆性，而且能将角形区域共形映射成带形区域。（）8、复变函数f=)=z的定义域为整个复平面，它在复平面上处处连续，处处可微分，处处解析，其积分与路径无关。（）9、如果是复变函数f(=)的可去奇点，则Re[f(2),]=0，如果是复变函数()的极点，则Re[.f(=),]=0，如果0是复变函数()的本性奇点，则Re[f(z)]=0，因此只要是复变函数f(=)的孤立奇点，就有Re[f(=),]=0。()10、f cos=(c -1)edz=2mi 。（)二、填空（2*10=20）11.两将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作1z，已知f(=）==2+2z+1，则f(3+i)的模为12.柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，：他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学主子相反，据说，法国科学院，，会刊，创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地
7、共性映射是复变函数一个很重要的内容，而分式线性变换是最简单 的共性映射，分式线性变换把圆周变成圆周，具有保圆性，而且能将角形区域 共形映射成带形区域。（ ） 8、复变函数 f (z) = z 的定义域为整个复平面，它在复平面上处处连续， 处处可微分，处处解析，其积分与路径无关。（ ） 9、如果 是复变函数 f (z) 的可去奇点，则 Re[ f (z),] = 0 ，如果 是复 变函数 f (z) 的极点，则 Re[ f (z),] = 0，如果 是复变函数 f (z) 的本性奇点， 则 Re[ f (z),] = 0 ，因此只要 是 复 变 函 数 f (z) 的 孤 立 奇 点 ，就有 Re[ f (z),] = 0。 （ ） 10、 z z e dz i z z cos ( 1) 2 1 2 − = = 。（ ） 二、填空（2*10=20） 11．两将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 | z | ，已知 ( ) 2 1 2 f z = z + z + ，则 f (3 + i) 的模为_. 12．柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路 易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担 任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚 的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式 也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式. 他在纯数学和应用 数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的 人，他一生一共著作了 789 篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并 不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与 数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在 太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学 院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地
方。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一个重要条件。复平面上解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,Jy)满足的柯西-黎曼条件为13.复变函数f(=)=e的一个周期是14、欧拉公式是数学里最令人着迷的一个公式，把指数函数写成正弦函数做虚部、余弦函数做实部的一个恒等式。运用自己的思维，看能不能将“e，元，i，1，+，0，=”六个符号连成一个合理的等式，每个符号只能用一次且不能重复使用15、若函数f（-)在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析，在区域D的边界C上连续，=。是区域D内任意一点，则有(=。)=[d，称为柯西2元Jcz-z(cos iz + sin iz)=dz = 积分公式，利用柯西积分公式计算一，（2元-z-i16、（=1，=2=3,=）=2二4：二二）称为交比，分式线性变换具有保交比性,即22 -232, -23(W1,W2,W3,W4)=（=1=2,-3,z4)利用该性质计算，把将z=00,0和1分别对应の=0,1和的分式线性变换为17、如下图，分式线性变换w=e三-i将上半平面保形变换成单位圆，你知z+i道哪一点变成了圆心吗？
方。 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那 里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学 家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但 建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人 公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼 的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一 个重要条件。复平面上解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 满足的柯西-黎曼条件 为_. 13．复变函数 z f (z) = e 的一个周期是_. 14、欧拉公式是数学里最令人着迷的一个公式，把指数函数写成正弦函数做虚 部、余弦函数做实部的一个恒等式。运用自己的思维，看能不能将“e，π， i， 1，+， 0，=”六个符号连成一个合理的等式，每个符号只能用一次且不 能重复使用_. 15、若函数 f (z) 在简单正向闭曲线 C 所围成的区域 D 内解析，在区域 D 的边 界 C 上连续， 0 z 是区域 D 内任意一点，则有 dz z z f z i f z C − = 0 0 ( ) 2 1 ( ) ，称为柯西 积分公式，利用柯西积分公式计算 = − + − = dz z i iz iz z i |z i| 1 (cos sin ) 2 1 _. 16、 ( , , , ) 1 2 3 4 z z z z 1 3 1 4 2 3 2 4 : z z z z z z z z − − − − = ）称为交比，分式线性变换具有保交比性,即 (w1 ,w2 ,w3 ,w4 ) = ( , , , ) 1 2 3 4 z z z z 利用该性质计算，把将 z= ,0 和 1 分别对 应 = 0,1 和 的分式线性变换为_. 17、如下图，分式线性变换 z i z i w e i + − = 将上半平面保形变换成单位圆，你知 道哪一点变成了圆心吗？_
U(z-ZolZo018、F()=F[LF(t)],a为非零实数，则F[F(at)=0,t<01是在傅里叶变换下的原像。已知f(t)p,1≥0β+j求F[f(at))al2COS三的零点有那些？19、复变函数f(=）=cotz=snz20、复变函数W=f(=)=22+2=在点z=-1-i处的旋转角为（已知复变函数f(z)在点z.处的旋转角为arg(f（z))三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题5分，共35分）1、计算+V3(1-)%3+(1+i)10+2-i(i+1)62、计算[(3cosz+2)dz（提示：解析函数积分与路径无关，只与起点和末点有关，本题可以用原函数方法）其中积分曲线为z=x+xi0<x<1
18、 F f t ( ) [ ( )] = F ，a 为非零实数，则 1 [ ( )] ( ) | | f at F a a F = ， 已知 = − , 0 0, 0 ( ) e t t f t t 是 + j 1 在傅里叶变换下的原像。 求 1 [ ( )] ( ) | | f at F a a F = 。_. 19、复变函数 z z f z z sin cos ( ) = cot = 的零点有那些？_. 20、复变函数 2 w f z z z = = + ( ) 2 在点 z i = − −1 处的旋转角为_. （已知复变函数 f (z) 在点 0 z 处的旋转角为 arg( ( )) 0 / f z 三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题５分，共 3５分） １、计算 i i i i i i − + + + − + + + 2 3 (1 ) (1 ) ( 1) (1 3 ) 10 10 6 3 ２、计算 + C (3cosz z)dz （提示：解析函数积分与路径无关，只与起点和末 点有关，本题可以用原函数方法） 其中积分曲线为 ,0 1 2 z = x + x i x
cosxXd3、利用留数计算广义积分1+1已知：Ped = 2m Z Re s器e,]l=(ta P(x)P(x)cosmxdx+isinmxdxQ(x)Q(x)Q(=)"Q(x)Im=, >04、求函数f(t)的傅氏变换及其积分表达式，0.t0，这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到。5、用拉普拉斯积分变换性质已知 : LLf(n)(t)= s"F(s)- s"- f(O)-s"-2 f (O)-...- f(n-l) (O)1-(Re(s) > k)C[e"] =s-k求解微分方程组[x (0)+x()-(t)=e' ,x(0)=y(0)=1 (l)+3x(t)-2y(0)=2et[x3 - j +i(x +y)7±06、设f(=)=试证：f(=)在原点满足C-R条件。x?+y?,2=0017、求函数f(=)=在不同区域（1）1<=<2（2）0<+1<1的罗朗展(2+ 1)(z + 2)式。四、用所学知识说明什么是什么是复变函数，复变函数和实变函数有什么区别
３、利用留数计算广义积分 dx x x + 0 + 2 1 cos 已知： mxdx Q x P x mxdx i Q x P x e z Q z P z e dx i s Q x P x k z k imx imz sin ( ) ( ) cos ( ) ( ) , ] ( ) ( ) 2 Re [ ( ) ( ) Im 0 + − + − + − = = + 4、求函数 f t() 的傅氏变换及其积分表达式， 0, 0 ( ) e , 0 t t f t t − = 其中 0 ，这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到. ５、用拉普拉斯积分变换性质 已知： ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 1 [e ] (Re( ) ). kt s k s k = − L 求解微分方程组 ' ( ) ( ) ( ) , (0) (0) 1 ' ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 t x t x t y t e x y t y t x t y t e + − = = = + − = 6、设 ( ) 3 3 3 3 2 2 , 0 ( ) , 0 0 x y i x y z f z x y z − + + = + = 试证： f z( ) 在原点满足 C R− 条件。 7、求函数 1 ( ) ( 1)( 2) f z z z = + + 在不同区域（1） 1 2 z （2） 0 1 1 + z 的罗朗展 式。 四、用所学知识说明什么是什么是复变函数，复变函数和实变函数有什么区别
复变函数有哪些类型？研究复变函数的方法有哪些？举例说明如何研究复变函数，复变函数有哪些应用？（10分）五、实验题（15分）1、举例说明如何用Matlab命令来求复变函数在孤立奇点的留数。（4分）2、plot(x,y)、plot(x）命令式Matlab中的作图命令，如何使用它来作图？编制一个绘制简单初等函数图形的例子。（4分）3、用Matlab写出函数f()=e-tsinbt，并求其拉普拉斯积分变换。（3分）4、【Matlab源程序】syms xw;symsbpositive；%定义符号参量bf=exp(-b~2*x2) ;F=simple(fourier(f))%结果为：F=1/b*pi~(1/2)*exp(-1/4*w~2/b~2)把Matlab语言函数f=exp（-b2*x2）和F=1/b*pi~（1/2）*exp（-1/4*w2/b2））和（)。（4分）写成数学表达式（
复变函数有哪些类型？研究复变函数的方法有哪些？举例说明如何研究复变 函数，复变函数有哪些应用？（10 分） 五、实验题（１5 分） 1、举例说明如何用 Matlab 命令来求复变函数在孤立奇点的留数。（4 分） 2、plot(x,y)、plot(x) 命令式 Matlab 中的作图命令，如何使用它来作图？ 编制一个绘制简单初等函数图形的例子。（4 分） 3、用 Matlab 写出函数 f t e bt at ( ) sin − = ，并求其拉普拉斯积分变换。（3 分） 4、【Matlab 源程序】 syms x w; syms b positive ;%定义符号参量 b f=exp(-b^2*x^2); F=simple(fourier(f)) %结果为: F =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2) 把 Matlab 语言函数 f=exp(-b^2*x^2)和 F =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2) 写成数学表达式（ ）和（ ）。（4 分）