实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式(一)实验类型：验证性(二)实验类别：基础实验(三)实验学时数：2学时
实验一 计算复变函数极限、微分、积分、 留数、泰勒级数展开式 （一） 实验类型：验证性 （二） 实验类别：基础实验 （三） 实验学时数：2学时
MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式
1、MATLAB求复变函数极限 2、MATLAB求复变函数微分 3、MATLAB求复变函数积分 4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数 5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式 MATLAB实现内容
MATLAB基本命令1、MATLAB求复变函数极限用函数limit求复变函数极限【Matlab源程序】syms zf=;返回极限结果limit(f,z,z0)Ze例1 求 F(z)=在z=0的极限sinz解 syms z;f=z*exp(z)/(sin(z))limit(f,z,0)ans =1
1、MATLAB求复变函数极限 用函数limit求复变函数极限 【Matlab源程序】 syms z f=; limit(f,z,z0) 返回极限结果 例1 求 在z=0的极限 解 syms z; f=z*exp(z)/(sin(z)) limit(f,z,0) ans = 1 z ze f z z sin ( ) = MATLAB基本命令
sin z例2设(2)=lim f(2)求 lim f(z)z-→>1+iZ2-0解【Matlab源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2**cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)
. 例2 设 sin ( ) z f z z = 求 0 lim ( ) z f z → 1 lim ( ) z i f z → + 解 【Matlab源程序】 syms z f=sin(z)/z; limit(f,z,0) ans= 1 limit(f,z,1+i) ans= 1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1) +1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)
2、MATLAB求复变函数微分用函数diff求复变函数极限【Matlab源程序】syms zf= () ;diff(f,z)返回微分结果e"_,求f(2)例3设f(z)=(1 + z)sin z解 symszf=exp(z)/(1+z)*(sin(z):diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)
2、 MATLAB求复变函数微分 用函数diff求复变函数极限 【Matlab源程序】 syms z f=（）; diff(f,z) 返回微分结果 例3设 ( ) f (z) z z e f z z + = ,求 1 sin ( ) 解 syms z f=exp(z)/((1+z)*(sin(z))); diff(f) ans = exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z) -exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)
3、MATLAB求复变函数积分(1)用函数int求解非闭合路径的积分【Matlab源程序】syms z a bf=返回积分结果int(f,z,a,b)例 4 求积分 xl=[°ch3zdz; x2=["(z-1)e"dzA解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：x1 = -1/3*ix2 = -i/exp(i)
3、 MATLAB求复变函数积分 (1)用函数int求解非闭合路径的积分. 【Matlab源程序】 syms z a b f= int(f,z,a,b) 返回积分结果 例 4 求积分 π 6 0 i i 0 x1= ch3zdz; x2 ( 1) dz z e z − = − 解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) 结果为： x1 = -1/3*i x2 = -i/exp(i)
(2)用函数int求解闭合路径的积分117例5计算积分z的值.9 =-2 (2z +i)°(z - 1)(z - 3)解【Matlab源程序】symstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出6位有效数值，使用语句vpa(inc,6)结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i
(2) 用函数int 求解闭合路径的积分. 例5 计算积分 10 | | 2 1 d ( i) ( 1)( 3) z z z z z = + − − 的值． 解 【Matlab源程序】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) 结果为 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi 若只输出6位有效数值，使用语句 vpa(inc,6) 结果为 ans =.238258e-5+.313254e-4*i
4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数(1) f(z)=p(z)/q(z); p(z)、q(z)都是按降幂排列的多项式用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab源程序】返回留数，极点[R,P,K]= residue (B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数：向量A为f(z)的分母系数：向量R为留数；向量P为极点位置：向量k为直接项：
4、 MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数 （1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式 用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数 【Matlab源程序】 [R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点 说明：向量B为f(z)的分子系数； 向量A为f(z)的分母系数； 向量R为留数； 向量P为极点位置； 向量k为直接项:
z2+1例6求函数在奇点处的留数z+1解 [R, P, K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：2R=P =-1K=1-1dz白例7计算积分c-1的值，其中C是正向圆周=2解先求被积函数的留数[R,P,K]= residue ([1,0],[1,0,0,0,-1])结果为：
解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1]) 结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1 例6 求函数 1 1 2 + + z z 在奇点处的留数． 例7 计算积分 4 d C 1 z z z − 的值，其中C是正向圆周 z = 2 ． 解 先求被积函数的留数 [R,P,K]= residue ([1,0],[1,0,0,0,-1]) 结果为：
R =可见在圆周|z|=20.2500内有四个极点,所以积分值等于0.2500-0.2500+ 0.0000S = 2元isum(R)-0.2500 -0.0000iP =S=2*pi*i*sum(R)-1.0000结果为S =01.0000故原积分0.0000+ 1.0000i0.0000-1.0000idz = 2元i·sum(R)=0K =0
R = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000i P = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i K = [] 可见在圆周 z = 2 内有四个极点,所以积分值等于 S = 2πisum(R) S=2*pi*i*sum(R) 结果为S =0 故原积分 4 d 2πi sum(R)=0 C 1 z z z = −