《复变函数与积分变换》课程教学大纲 Complex Variable Functions and Integral Transformations.pdf_大学文库

《复变函数与积分变换》教学大纲、课程基本信息课程编码：072104B、075104B中文名称：复变函数与积分变换英文名称：ComplexVariableFunctionsandIntegralTransformations课程类别：专业基础及核心课总学时：45总学分：3适用专业：电子科学与技术、电气自动化技术先修课程：高等数学二、课程的性质、目标和任务复变函数与积分变换是高等数学的后继课。它的概念、理论和方法与高等数学有许多相似之处，但它又有其独特的理论和方法，并不是实数理论在复数域中的简单平移。它的理论和方法在数学的其他分支（如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论及算子理论中有着广泛的应用，而且作为一种强有力工具还被广泛应用于理论物理、流体力学、空气动力学、自动控制学、信号处理、图像处理大型系统故障诊断及工程力学等领域中，如在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析：在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。通过该课程的学习，使学生掌握复变函数和积分变换数学理论体系，掌握复变函数的基础知识和基本方法，傅里叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用该知识体系解决问题的能力。三、课程教学基本要求根据我院教学型，地方性和应用型的特色，结合培养目标的要求，在传授知识的同时，通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用，使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点，必要的地方采用与实变量函数性质对比的方法，主要强调复变函数本身的一些性质和特点。着重于基本概念、基本理论的讲授和基本技能的培养，注重学生的数学应用意识，提高学生数学文化素养和自主学习的能力。四、课程教学内容及要求第一章复数与复变函数（4学时）【教学目标与要求】1、教学目标：掌握较熟练的复数运算技巧，培养学生严密的逻辑思维能力，通过对复数极限概念的理解，培养学生的辩证思维能力2、教学要求1.掌握复数的三种表示法，知道复平面的点集与区域：2.理解复变函数的概念，了解其几何表示；3.了解复变函数的极限与连续性的概念4.掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些简单的运算。【教学重点与难点】1、教学重点：复数运算以及用复数方程表示曲线，实变与复变函数各种概念的异同。2、教学难点：复数的辐角、多值函数、复函数极限与连续。【教学内容】1.1复数1.2复数的三角表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大和复球面1.5复变函数第二章解析函数（6学时）【教学目标与要求】1、教学目标：熟练掌握构造解析函数的方法，并能应用于稳定平面场及静电场2、教学要求：1.理解复变函数导数的概念及其求法2.理解解析函数的概念；3.熟练掌握用柯西---黎曼条件判断函数解析性的方法：4.了解初等函数的解析性；5.了解解析函数与调和函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法【教学重点与难点】1、教学重点：复变函数可导与解析判别法，C一R方程，初等函数概念以及与之相联系方程求解。2、教学难点：复变函数解析性判断，初等函数。【教学内容】2.1解析函数的概念2.2解析函数和调和函数的关系2.3初等函数

《复变函数与积分变换》教学大纲一、课程基本信息课程编码：072104B、075104B 中文名称：复变函数与积分变换英文名称：Complex Variable Functions and Integral Transformations 课程类别：专业基础及核心课总学时： 45 总学分： 3 适用专业：电子科学与技术、电气自动化技术先修课程：高等数学二、课程的性质、目标和任务复变函数与积分变换是高等数学的后继课。它的概念、理论和方法与高等数学有许多相似之处，但它又有其独特的理论和方法，并不是实数理论在复数域中的简单平移。它的理论和方法在数学的其他分支(如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论及算子理论中) 有着广泛的应用，而且作为一种强有力工具还被广泛应用于理论物理、流体力学、空气动力学、自动控制学、信号处理、图像处理、大型系统故障诊断及工程力学等领域中，如在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。通过该课程的学习，使学生掌握复变函数和积分变换数学理论体系，掌握复变函数的基础知识和基本方法，傅里叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用该知识体系解决问题的能力。三、课程教学基本要求根据我院教学型、地方性和应用型的特色，结合培养目标的要求，在传授知识的同时，通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用，使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点，必要的地方采用与实变量函数性质对比的方法，主要强调复变函数本身的一些性质和特点。着重于基本概念、基本理论的讲授和基本技能的培养，注重学生的数学应用意识，提高学生数学文化素养和自主学习的能力。四、课程教学内容及要求第一章复数与复变函数（4学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：掌握较熟练的复数运算技巧，培养学生严密的逻辑思维能力，通过对复数极限概念的理解，培养学生的辩证思维能力。 2、教学要求： 1.掌握复数的三种表示法，知道复平面的点集与区域； 2.理解复变函数的概念，了解其几何表示； 3.了解复变函数的极限与连续性的概念； 4.掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些简单的运算。【教学重点与难点】 1、教学重点：复数运算以及用复数方程表示曲线，实变与复变函数各种概念的异同。 2、教学难点：复数的辐角、多值函数、复函数极限与连续。【教学内容】 1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大和复球面 1.5 复变函数第二章解析函数（6学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：熟练掌握构造解析函数的方法，并能应用于稳定平面场及静电场。 2、教学要求： 1. 理解复变函数导数的概念及其求法； 2. 理解解析函数的概念； 3. 熟练掌握用柯西-黎曼条件判断函数解析性的方法； 4.了解初等函数的解析性； 5.了解解析函数与调和函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。【教学重点与难点】 1、教学重点：复变函数可导与解析判别法，C—R方程，初等函数概念以及与之相联系方程求解。 2、教学难点：复变函数解析性判断，初等函数。【教学内容】 2.1 解析函数的概念 2.2 解析函数和调和函数的关系 2.3 初等函数

第三章复变函数的积分（6学时）【教学目标与要求】教学目标：掌握复变函数积分的方法和技巧，区分实变量函数积分概念与复变函数积分概念异同点。2、教学要求：1.了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数沿曲线上的积分2.会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念；3.掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分【教学重点与难点】1、教学重点：柯西定理及推广形式复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式的用法，调和函数与解析函数的关系。2、教学难点：复合闭路定理运用，已知解析函数的实部或虚部求解析函数。【教学内容】3.1复积分的概念3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.4解析函数的高阶导数第四章解析函数的级数表示（4学时）【教学目标与要求】教学目标：熟练掌握用间接的方法将解析函数在解析点邻域内展开成帚级数，在其孤立奇点附近展开成洛朗级数的方法，以便利用级数方法研究解析函数的性质。2、教学要求：1.正确理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛；2.知道幕级数的概念，了解幕级数的收敛圆的概念，会求幕级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质3.了解泰勒定理4.了解的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数5.正确理解洛朗级数，会用间接的方法将函数在其孤立奇点附近展开成洛朗级数。【教学重点与难点】1、教学重点：函数展开成泰勒级数，在不同环域内将函数展开成洛朗级数。2、教学难点：初等函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。【教学内容】4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数第五章留数及其应用（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：理解并能应用留数定理，掌握用留数求围道上积分的方法，尤其是对那些计算比较复杂、或不能直接用不定积分来计算表的定积分。2、教学要求：1.了解孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质；2.理解留数的概念，掌握函数在极点处留数的计算方法：3.理解留数定理，会用留数定理计算闭路积分及一些实积分。【教学重点与难点】1、教学重点：孤立奇点类型的判别，留数的计算，利用留数定理计算复积分与定积分。2、教学难点：留数计算与留数定理的应用。【教学内容】5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用5.4*对数留数与辐角原理。第六章共形映射（4学时）【教学目标与要求】1、教学目标：理解共形映射的概念，初步尝试将共形映射的方法运用到动力学、弹性理论、静电场及磁场等方面实际问题。2、教学要求：1.理解解析函数的导数的几何意义及共形映射的概念；2.了解（为正有理数）和的映射性质3.掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。【教学重点与难点】

第三章复变函数的积分（6学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：掌握复变函数积分的方法和技巧，区分实变量函数积分概念与复变函数积分概念异同点。 2、教学要求： 1.了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数沿曲线上的积分； 2.会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念； 3.掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分。【教学重点与难点】 1、教学重点：柯西定理及推广形式复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式的用法，调和函数与解析函数的关系。 2、教学难点：复合闭路定理运用，已知解析函数的实部或虚部求解析函数。【教学内容】 3.1 复积分的概念 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式 3.4 解析函数的高阶导数第四章解析函数的级数表示（4学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：熟练掌握用间接的方法将解析函数在解析点邻域内展开成幂级数，在其孤立奇点附近展开成洛朗级数的方法，以便利用级数方法研究解析函数的性质。 2、教学要求： 1.正确理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛； 2.知道幂级数的概念，了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质。 3.了解泰勒定理 4.了解的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。 5.正确理解洛朗级数，会用间接的方法将函数在其孤立奇点附近展开成洛朗级数。【教学重点与难点】 1、教学重点：函数展开成泰勒级数，在不同环域内将函数展开成洛朗级数。 2、教学难点：初等函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。【教学内容】 4.1复数项级数 4.2复变函数项级数 4.3泰勒级数 4.4洛朗级数第五章留数及其应用（8学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：理解并能应用留数定理，掌握用留数求围道上积分的方法，尤其是对那些计算比较复杂、或不能直接用不定积分来计算表的定积分。 2、教学要求： 1.了解孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质； 2.理解留数的概念，掌握函数在极点处留数的计算方法； 3.理解留数定理，会用留数定理计算闭路积分及一些实积分。【教学重点与难点】 1、教学重点：孤立奇点类型的判别，留数的计算，利用留数定理计算复积分与定积分。 2、教学难点：留数计算与留数定理的应用。【教学内容】 5.1孤立奇点 5.2留数 5.3留数在定积分计算中的应用 5.4 *对数留数与辐角原理。第六章共形映射（4学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：理解共形映射的概念，初步尝试将共形映射的方法运用到动力学、弹性理论、静电场及磁场等方面实际问题。 2、教学要求： 1.理解解析函数的导数的几何意义及共形映射的概念； 2.了解（为正有理数）和的映射性质； 3.掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。【教学重点与难点】

1、教学重点：分式线性变换及其映射特点。2、教学难点：边界对应原理，黎曼存在唯一性定理【教学内容】6.1共形映射的概念6.2共形映射的基本问题6.3分式线性映射6.4几个初等函数构成的共形映射第八章傅里叶变换（6学时）【教学目标与要求】1、教学目标：理解并记住Fourier变换及其逆变换的概念，会计算一些典型信号和简单函数的频谱，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力2、教学要求：1掌握傅里叶级数的三角形式与指数形式；2.正确理解傅里叶变换及其逆变换的概念，3.理解单位脉冲函数及其傅里叶变换4.掌握傅里叶变换的性质；5.会计算一些典型信号和简单函数的频谱；6.理解卷积与卷积定理，会计算两个函数的卷积。【教学重点与难点】1、教学重点：傅里叶变换的性质与计算。2、教学难点：广义傅里叶变换，单位冲激函数。【教学内容】8.1傅里叶变换的概念8.2单位冲激函数8.3傅里叶变换的性质第九章拉普拉斯变换（7学时）【教学目标与要求】1、教学目标：熟练掌握拉普拉斯变换及其逆变换的方法，并能将其运用于控制论中，熟练掌握用拉普拉斯变换求解常系数微分方程的方法。2、教学要求：1理解拉普拉斯变换的概念，掌握拉普拉斯变换的性质2.理解拉普拉斯逆变换概念，知道复反演公式，会用留数求像原函数；3.熟练掌握用部分分式求有理函数的拉氏逆变换：4.了解卷积的概念及卷积定理；5.熟练掌握用拉普拉斯变换求解常系数微分方程的方法6.熟记并掌握典型信号的拉普拉斯变换【教学重点与难点】1、教学重点：拉普拉斯变换，拉普拉斯逆变换的求法，用拉普拉斯变换求解常系数微分方程2、教学难点：拉普拉斯逆变换求法，用拉普拉斯变换求解常系数微分方程。【教学内容】9.1拉普拉斯变换的概念9.2拉氏变换的性质9.3拉普拉斯逆变换*9.4拉氏变换的应用及综合举例五、教学学时分配建议《复变函数与积分变换》课程教学时数分配表学分：3总学时：45住要内容（章节标各环节学时分分配章节学时备注题）讲授实践讨论、习题课等实验44第一章复数与复变函数462第二章解析函数426第三章复变函数的积分4第四章解析函数的级数表示4862第五章留数及其应用

1、教学重点：分式线性变换及其映射特点。 2、教学难点：边界对应原理，黎曼存在唯一性定理。【教学内容】 6.1共形映射的概念 6.2共形映射的基本问题 6.3分式线性映射 *6.4几个初等函数构成的共形映射第八章傅里叶变换（6学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：理解并记住Fourier变换及其逆变换的概念，会计算一些典型信号和简单函数的频谱，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 2、教学要求： 1.掌握傅里叶级数的三角形式与指数形式； 2.正确理解傅里叶变换及其逆变换的概念， 3.理解单位脉冲函数及其傅里叶变换； 4.掌握傅里叶变换的性质； 5. 会计算一些典型信号和简单函数的频谱； 6.理解卷积与卷积定理，会计算两个函数的卷积。【教学重点与难点】 1、教学重点：傅里叶变换的性质与计算。 2、教学难点：广义傅里叶变换，单位冲激函数。【教学内容】 8.1傅里叶变换的概念 8.2单位冲激函数 8.3傅里叶变换的性质第九章拉普拉斯变换（7学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：熟练掌握拉普拉斯变换及其逆变换的方法，并能将其运用于控制论中，熟练掌握用拉普拉斯变换求解常系数微分方程的方法。 2、教学要求： 1. 理解拉普拉斯变换的概念，掌握拉普拉斯变换的性质； 2. 理解拉普拉斯逆变换概念，知道复反演公式，会用留数求像原函数； 3.熟练掌握用部分分式求有理函数的拉氏逆变换； 4. 了解卷积的概念及卷积定理； 5.熟练掌握用拉普拉斯变换求解常系数微分方程的方法； 6.熟记并掌握典型信号的拉普拉斯变换。【教学重点与难点】 1、教学重点：拉普拉斯变换，拉普拉斯逆变换的求法，用拉普拉斯变换求解常系数微分方程。 2、教学难点：拉普拉斯逆变换求法，用拉普拉斯变换求解常系数微分方程。【教学内容】 9.1拉普拉斯变换的概念 9.2拉氏变换的性质 9.3拉普拉斯逆变换 *9.4拉氏变换的应用及综合举例五、教学学时分配建议《复变函数与积分变换》课程教学时数分配表总学时：45 学分：3 章节主要内容（章节标题）学时各环节学时分分配备注讲授实验实践讨论、习题课等第一章复数与复变函数 4 4 第二章解析函数 6 4 2 第三章复变函数的积分 6 4 2 第四章解析函数的级数表示 4 4 第五章留数及其应用 8 6 2