教学建议学习目标第三章导数的应用S3.1函数的单调性与极值S3.2极值的几何应用83.3边际与弹性83.4极值的经济应用$3.5曲线凹凸与拐点
§3.1 函数的单调性与极值 §3.2 极值的几何应用 §3.3 边际与弹性 教学建议 学习目标 第三章 导数的应用 §3.4 极值的经济应用 §3.5 曲线凹凸与拐点
8 3.1函数的单调性与极值一.函数的单调性二.函数的极值
一.函数的单调性 二.函数的极值 §3.1 函数的单调性与极值
函数的单调性设函数f(x)在区间I上有定义，若对于I中的复习单调任意两点X,和X2,当x,0,由tanα>0 知,倾角αf'(x)>(a为锐角,在x。处,曲线是上升的,函数f(x)随x增加而增加0xox
一 . 函数的单调性 复习单调 性的定义 ( ) ( ) , 1 2 f x f x 设函数 在区间 上有定义，若对于 中的 任意两点 和 ,当 f (x) I 1 x 2 x 1 2 x x I 则称 f (x) 在 I 上单调增加. y = f (x) y o x ( ) 0 f x0 0 x (1) 若 ,由 知,倾角 为锐角,在 处,曲线是上升的,函数 随 增加而增加. f (x0 ) 0 tan 0 0 x f (x) x 在§1.1中 在§2.1中,导数的几何意义
复习单调设函数f(x)在区间I上有定义，若对于I中的性的定义任意两点x和x2,当xf(x2),在81.1中y在$2.1中，导数的几何意义f(x)<0(2)若f(x)<0由tan α<0 知,倾角α为钝角,在x。处,曲线是下降的,函数f(x)V=随x增加而减少x0xo
复习单调 性的定义 在§1.1中 在§2.1中，导数的几何意义 ( ) ( ) , 1 2 f x f x 设函数 在区间 上有定义，若对于 中的 任意两点 和 ,当 f (x) I 1 x 2 x 1 2 x x I 则称 f (x) 在 I 上单调减少. y o x (2) 若 ,由 知,倾角 为钝角,在 处,曲线是下降的,函数 随 增加而减少. f (x0 ) 0 tan 0 0 x f (x) x y = f (x) ( ) 0 f x0 0 x
函数单调性定理3.1 在函数f(x)可导的区间I内：的判定法则(1)若f(x)>0,则函数f(x)单调增加;(2)若f'(x)0. 敌函数f(x)在其定义域内是单调增加的
函数单调性 的判定法则 由单调性的 判定法则 定理3.1 在函数 f (x) 可导的区间 I 内: (1) 若 ( ) 0 , 则函数 f (x) 单调增加; f x (2) 若 ( ) 0 , 则函数 f (x) 单调减少. f x 解 练习1 x f x x 1 ( ) 5 确定函数 = − 的单调性. 函数 f (x) 的定义域是 (−,0)(0,+). 因 . 1 ( ) 5 2 4 x f x = x + 可知在 (−,0)(0,+) 内, f (x) 0. 故函数 f (x) 在其定 义域内是单调增加的
说明在函数f(x可导的区间内,f'(x)>0 (<O)是函数f(x)在区间I内单调增加(减少)的充分条件,而非必要条件例如,函数f(x)= x3 在区间(-00,+o0)内是单调增加的,当x=0时，-38.当8时yEx此例说明,函数f(x)在区间I内单调增加(减少)时,在个别点×o处,可以有f'(x)=0.x在函数f(x)的可导区间I内,若f(x)≥0结论或f'(x)≤0,而等号仅在一些点处成立,则函数f(x)在区间I内单调增加或单调减少
说明 在函数 f (x) 可导的区间 I 内, f (x) 0 ( 0) 是函数 f (x) 在区间 I 内单调增加(减少)的充分条件,而非必要条件. 例如,函数 3 在区间 内是单调增加的, f (x) = x (−,+) 3 y = x y o x 0, 0 . 0, 0 ( ) 3 2 当 时 当 时， = = = x x 而 f x x 此例说明,函数 在区间 内单调增加 (减少)时,在个别点 处,可以有 f (x) I 0 x ( ) 0. f x0 = 结论 在函数 f (x) 的可导区间 I 内,若 f (x) 0 或 f (x) 0 ,而等号仅在一些点处成立,则函数 在区间 内单调增加或单调减少. f (x) I
讨论函数y= f(x)的增减区间的程序(2)求导数'(x),(3)判定函数的增减区间：母(x)= 0考察导数f'(x)在各个部(1)确定函数确定函数的驻点分区间内的正负号，便知的定义域；驻点将定义域函数f(x)在各个部分区间内的增减性分成部分区间：
(1)确定函数 的定义域; (2)求导数 由 确定函数的驻点. 驻点将定义域 分成部分区间; f (x), f (x) = 0 讨论函数 y = f (x) 的增减区间的程序 (3)判定函数的增减区间: 考察导数 在各个部 分区间内的正负号,便知 函数 在各个部分区 间内的增减性. f (x) f (x)
练习2 讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x—3的单调增减区间.yAy=2x3-9x2+12x-3解(1)函数的定义(2)求导数并确f'(x) = 6x1)(x-2)X由f'(x)=0得 )O21(3)判定函数的2=2 将函数的定, +8).义域分成三个部分在区间(-00, 1))单调增加;在区间(1, 2)内自调减少;在区间(2,+00)内J'(X)>U,函致J(x)单调增加
解 (1)函数的定义域是 (−,+). (2)求导数并确定函数的驻点: ( ) 6 18 12 6( 1)( 2). 2 f x = x − x + = x − x − (−,1),(1, 2), (2, + ). (3)判定函数的增减区间:驻点 x1 =1, x2 = 2 将函数的定 由 f (x) = 0 得 1, 2. x1 = x2 = 义域分成三个部分区间: 在区间 (−, 1) 内, f (x) 0 ,函数 f (x) 单调增加; 练习2 讨论函数 f (x) = 2x 3 −9x 2 +12x −3 的单调增减 区间. 在区间 (1, 2) 内, f (x) 0 ,函数 f (x) 单调减少; 在区间 (2, + ) 内, f (x) 0 ,函数 f (x) 单调增加
函数的极值极值函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值的定义(1)若有f(x)f(xo),则称Xg是函数f(x)的极小值点，称f()是函数f(x)的极小值，(x)=0tyXXi, X2. X3, X4y=f(x极大值点均为驻点0=0Xf(rs)X不是极值点极小值点x0aXhXMM
二. 函数的极值 极值 的定义 定义3.1 设函数 在点 及其左右邻近有定义, x 是其中的任一点,但 : 0 x x f (x) 0 x (1)若有 ( ) ( ), 0 f x f x 则称 是函数 的极大值点, 0 x f (x) y y = f (x) o a b x 1 x 2 x 3 x 4 x ( ) 1 f x ( ) 4 f x ( ) 2 f x ( ) 3 f x 极大值点 不是极值点 极小值点 函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值. ( ) 0 f x4 = ( ) 0 f x1 = ( ) 0 f x2 = ( ) 0 f x3 = ( ) 0 f x 是函数 f (x) 的极大值; 称 ( ) 0 f x 是函数 f (x) 的极小值. 称 均为驻点 1 2 3 4 x, x , x , x (2)若有 ( ) ( ), 0 f x f x 则称 是函数 的极小值点, 0 x f (x)
极值存在若函数f(x)在X,可导,且有极值,则一定有的必要条件f'(x) = 0.即对可导函数f(x)而言,它的极值点Xo一定是其驻点注意：函数f(x)的驻点却不一定是其极值点如,对函数f(x)= x3 :f(x)L f(x)=x有f'(O)=0,即x=0是该函数的驻点,但x=O却不是其极值点上页图中的x也只是驻点，但非极值点x那么，究竟哪些点一定是极值点呢？
极值存在 的必要条件 ( ) 0. f x0 = 若函数 f (x) 在 x0 可导,且有极值,则一定有 注意: 函数 f (x) 的驻点却不一定是其极值点. 3 f (x) = x o x f (x) 有 f (0) = 0 ,即 x = 0 是该函数的驻点, 但 x = 0 却不是其极值点. 即对可导函数 f (x) 而言,它的极值点 一定是其驻点. 0 x 如, 对函数 ( ) : 3 f x = x 也只是驻点,但非极值点. 3 上页图中的 x 那么,究竟哪些点一定是极值点呢?